從一道中考題剖析幾何中有關圓的問題

江蘇省海門市四甲初級中學　張　丹

從一道中考題剖析幾何中有關圓的問題

江蘇省海門市四甲初級中學張丹

數學的幾何試題是一種將計算與平面證明融為一起的推斷問題，真正體現了邏輯思維的運用。很多初中學生的邏輯思維能力不強，做題的過程推理不嚴密，時有“卡殼”現象，究其原因在于儲存的幾何知識欠缺。當幾何試題中有圓圖形出現時，更是底氣不足，一個重要的原因就是對有圓的圖形所涉及到的內涵和外延都是一知半解。不能夠挖掘內涵，就找不到要素的對應關系；不能理順外延，就排除不了試題設置的障礙。怎樣才能做到充分認識幾何試題中圓涉及到的內涵和外延呢？本文從2016年的江蘇南通的一道中考試題說起，通過剖析試題讓我們再次領略中考試題的風采，找尋其試題的奧秘所在。

中考；剖析；圓；幾何

進入初三，學生面臨的升學壓力越來越大，自然而然覺得掌握的數學知識越來越不夠用。幾何問題從線形的變換到數值計算的容易，使學生“壓力山大”。包涵著邏輯推理的幾何問題在學生的認知層面開始深化，體現數形轉換的數學思想在學生的思維里悄無聲息的形成。這是一個關鍵時期，是為高中乃至于大學的學習打下基礎的階段，讓學生真正能夠形成學科素養。

一、剖析典例挖掘試題的真正內涵

【例題】（2016年南通市初中畢業升學考試數學試題）已知：如圖1，AM為⊙O的切線，A為切點，過⊙O上一點B作BD⊥AM于點D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB

（1）求∠AOB的度數

（2）若⊙O的半徑為2cm，求線段CD的長

圖1

【試題分析】從圖形可知，AM是⊙O的切線，BD是⊙O的割線，OA與BD平行，可以發現一些特殊的圖形，如四邊形AOBD是直角梯形。另一方面OC是一條角平分線，它有平分角的作用，能否形成特殊角？只有認真去挖掘圖形中的這些內涵，就可以找到解決問題的方法。

（1）根據題干已知OC平分∠AOB，就可以得出平分得到的兩個角相等，即是∠AOC=∠COB；必須將這兩個相等的角應用到推理中去。

根據題干已知AM切⊙O于點A，可以挖掘出來OA⊥AM，再由已知BD⊥AM，就能得到OA∥BD，由夾在平行線中的內錯角相等推斷出∠AOC=∠OCB。

利用同圓的半徑相等來分析△OBC，OC=OB，△OBC是等腰三角形，而∠OCB=∠B，等腰三角形的頂角和底角相同，說明△OBC是等邊三角形，因此就可以得到∠B=∠OCB=∠COB=60°，故可以推斷∠AOB=120°

（2）方法是多樣的，可以真正體驗圓所涉及到的內涵和外延。方法1：可以在等邊三角形△OBC中，過點O作輔助線OE⊥BC于E，即是等邊△OBC邊BC上的高，如下圖2：

圖2

可知四邊形AOED為矩形，矩形的對邊相等，⊙O的半徑為2cm，即OD=AO=2cm；

在由BC=2cm，CE=BE=1cm得出CD=BE=CE=1cm

方法2：連接AC，如圖3。因為∠OCA=∠AOC=60°，直角三角形ACD是特殊角三角形。

圖3

△AOC≌△COB，是對邊三角形，AC=2cm，推斷出OD=AC=1cm。

二、分析典例體驗命題的發展方向

從以上典例分析可以發現，中考試題注重考查的是幾何的基礎知識、解題的基本技能，因此在指導學生學習時必須從基本數學思想方法的認知和應用等方面出發，緊扣分析和解決問題的方法培養。

（1）因為試題關注了對幾何的基礎知識和基本技能的考查，所以，在這里試題的分析過程中需要利用圓豐富的元素將復雜幾何圖形中分解成為簡單、基本的圖形，如等腰三角形、直角三角形等，從而提升學生利用基本圖形挖掘基本元素之間的關系的能力。

（2）無論是幾何證明題還是幾何計算題，推理論證是必要的過程，在平時學習中可以借助于圓中的直徑、半徑、圓周角等元素的特征，整合學生已掌握的基本數學活動經驗，并將這些已有的經驗進行靈活的運用。

（3）在平時的學習中要不斷地挖掘圓的元素及其內涵，譬如直徑所對的圓周角為直角，可以構成直角三角形，也可以分散到兩條直線垂直知識方面；另外還可以從圓的外延出發，用一些熟知的定理如切割線定理、相交線定理來證明或者計算有關圓的幾何問題，不斷豐富學生的解題方法和技巧。

總之，通過2016年的江蘇南通的一道有關圓的經典中考試題的剖析，讓我們不但領略到了中考試題的風采，而且通過試題探究明確了其真正的內涵以及所折射出來的外延。

［1］何國偉，楊德焱.一道中考幾何計算題解法的探究與啟示［J］.《中國數學教育》，2011（5）：16-18.

［2］吳永剛.在偶然與必然之間徜徉探究——對一道中考幾何試題的再研究［J］.《中學數學》，2010（10）：60-61.

［3］張宏政.幾何題的分析首先從邏輯關系入手——從一道中考錯題談起［J］.《中學數學教學參考》，2013（1）：62-64.