領悟“整式的加減”中的數學思想

江蘇省海門市海南中學　黃　華

領悟“整式的加減”中的數學思想

江蘇省海門市海南中學黃華

在學習中品味數學的思想，領悟數學的精華，讓學習不只是服務于應試與升學，更服務于成長與成才。在人教版“整式的加減”的教學中，我們可以嘗試通過多個方面來滲透數學思想，引領學生成長。

數學；思想；數形結合

整式的加減是初中數學的重要內容。它是學習整式的乘除、分式和根式運算、方程以及函數等知識的基礎。整式的加減，不僅要熟練運用整式的加減法則進行化簡、求值，領悟其中蘊含的數學思想則更是重中之重。巧用各類數學思想對解決有關問題常有事半功倍的效果。

一、用字母表示數的思想

用字母表示數，是發展學生符號意識、進行量化刻畫的基礎，同時也是從常量研究到變量研究的基礎，從具體到抽象的規律發現的重要過程，是算術跨越到代數的橋梁，是學生學習初等數學必須進行的思想方法、思維方式轉變的第一關，對后續學習非常重要。

例1計算2015×20162016-2016×20152015。

分析：此題雖然可以直接計算，但過于煩瑣。如果設x=2015，y=2016，用字母表示數，把數的運算轉化為代數式的運算，則可使運算簡便。

點評：正確理解用字母表示數，是學好數學知識的關鍵，通過本題我們發現，有時用字母表示數可以使問題簡化。

二、整體思想

整體思想就是考慮問題時，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某幾項某一類看成一個整體的數學思想方法。在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡求值題中經常用到。

例2當x=-1時，整式ax3+bx+3的值為7，則當x=1時，其值為______。

分析：把x=-1代入整式，得到-a+b+3=7，即-（a+b）=4，雖無法求出a，b的值，但當x=1時，整式ax3+bx+3就可表示為a+b+3，整體代入即可。

解：當x=-1時，原式=-a+b+3=7，即-（a+b）=4。

所以，原式=a+b+3=-4+3=-1。

1）王家會站測驗斷面相對穩定，中高水水位流量關系相關性較好，中高水經單值化處理定線后，水位流量關系線系統誤差的絕對值和隨機不確定度均小于《水文巡測規范》（SL195-2015）4.5.2條基本站允許誤差。

點評：解題時不要只著眼“局部”，還要著眼于“整體”，利用“整體代入”的方法會使一類整式的化簡求值問題便于解決。

三、方程思想

方程思想就是把未知數看成已知數，讓代替未知數的字母和已知數一樣參加運算，找出相關量之間的相等關系，列出方程或方程組，從而解決問題的一種思維方式。

例3若單項式axb+2y7與x5ya+3是同類項，求a-b的值。

分析：依據同類項的定義可知：兩個項中x的指數相等，y的指數也相等。

解：因為單項式axb+2y7與x5ya+3是同類項，所以b+2=5，a+3=7，則有a=4，b=3，所以a-b=4-3=1。

點評：用方程思想分析解決問題，直觀明了，便于理解，是今后解實際問題及解其他問題（如空間與圖形問題）的重要方法。

四、歸納思想

從特殊（具體）的例子出發，經過猜想、探究、歸納出一般（抽象）的規律。這種特殊到一般、具體到抽象的方法滲透了我們數學中常用的歸納思想，對發展學生的思維非常重要。

例4用同樣大小的正方形按下列規律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個圖案中正方形的個數是______。

答案：4n-1。

點評：這種“特殊（具體）→一般（抽象）”的思維方式，正是人類認識新事物、探索新規律常用的方法。由于此類命題切合培養創新意識的新課標要求，所以逐漸成為各類考核命題的熱點。

五、分類討論思想

我們在研究解決有關問題的時候，常常根據問題的特點和具體要求，按照一定的標準，把這個問題分為若干種互不重復的情形，然后加以處理的一種數學思想就稱為分類討論的思想。

例5試比較a2-3a+4與a2-4a+3的大小。

分析：比較大小的常規方法有很多種，本題最常用的是作差法。兩個式子的大小可以通過它們的差來判斷，即若a-b＞0，則a＞b；若a-b=0，則a=b；若a-b＜0，則a＜b。

解：（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=a+1

分三種情況討論：

當a＞-1時，a+1＞0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＞0，∴a2-3a+4＞a2-4a+3；

當a=-1時，a+1=0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）=0，∴a2-3a+4=a2-4a+3；

當a＜-1時，a+1＜0，即（a2-3a+4）-（a2-4a+3）＜0，∴a2-3a+4＜a2-4a+3。

點評：分類討論思想的實質是把問題“分而治之，各個擊破”。當題目中的條件不確定時，一般應采用分類討論思想方法進行解答。用分類討論思想解題時，關鍵是不重復不遺漏，尤其要注意分類標準的統一性。

六、數形結合思想

數形結合思想是通過構建數與形之間的對應關系，使數與形相互啟發、相互補充、相互轉化。仔細觀察圖形，找出反映圖形的數量關系，就能正確地解決問題。

例6已知在數軸上a、b、c的位置，如圖所示，試化簡

分析：對帶有絕對值符號的式子進行化簡，首先要考慮的是去掉絕對值符號，根據絕對值的性質確定去掉絕對值符號后取什么符號，最后再用整式的加減運算進行化簡。

點評：數形結合是數學中一種非常重要的思想方法，它利用“數”與“形”各自的特點，互相補充，使數形相互依偎，為我們解決問題創造便利。

在解題時，有意識且熟練地運行各種數學思想，整式加減不僅會變得更容易，而且能大大提高答題的正確率。因此，在日常教學中，我們要不斷將這種思想滲透進去，讓學生熟練運用。