多組件結構系統布局拓撲優化中處理組件干涉約束的懲罰函數方法

朱繼宏， 郭文杰， 張衛紅， 何飛

西北工業大學 工程仿真與宇航計算技術實驗室， 西安 710072

多組件結構系統布局拓撲優化中處理組件干涉約束的懲罰函數方法

朱繼宏*， 郭文杰， 張衛紅， 何飛

西北工業大學 工程仿真與宇航計算技術實驗室， 西安 710072

包含大量組件的多組件結構系統布局拓撲優化設計中存在大量的組件干涉約束，研究了包含大量組件的結構系統整體式拓撲布局優化設計問題，基于有限包絡圓方法(FCM)提出了處理組件干涉約束的懲罰函數方法，構造了包含結構剛度和組件之間幾何干涉函數的內外混合懲罰函數，應用基于梯度的優化算法對包含數十個組件上百個干涉約束的多組件結構系統進行剛度優化設計，得到了清晰的支撐結構構型和無干涉的組件布局位置，充分體現了提出的混合懲罰函數方法在解決多組件結構系統布局拓撲優化設計中組件干涉問題上的有效性和適用性。

拓撲優化； 多組件結構系統； 混合懲罰函數； 干涉約束； 有限包絡圓法

結構拓撲優化設計技術經過近30年的發展和完善，已經逐步成為概念設計階段的一個重要方法。到目前為止，拓撲優化技術在科學研究及工程應用領域都取得了顯著成就，已成為航空航天結構設計中減輕結構重量、提高系統性能的關鍵技術手段之一。隨著飛行器性能的不斷提高，飛行器結構系統變得越來越復雜，飛行器需要搭載的設備也越來越多。與圖1所示的典型多組件結構系統示意圖相似，大多數飛行器結構系統都可以看做是多個設備(稱組件或特征)以一定的支撐連接方式與主承力結構進行連接而構成的多組件結構系統。

圖1 典型多組件結構系統示意圖Fig.1 Illustration of a typical multi-component system

多組件結構系統拓撲布局優化的本質是實現組件的空間布局及其支撐結構構型的協同優化設計，將組件從有效載荷轉化為承力件參與到傳力路徑布局中，實現組件、結構的整體式設計。前期相關學者已開展了大量有益的工作，如Chicker-mane[1]、Li[2]和Ma[3]等將多組件結構系統中互相分離的部分看做不同設計區域中的多種組件，組件的結構構型和支撐組件的連接位置通過基于密度點的拓撲優化方法實現協同優化；Zhu等[4-7]提出了基于密度點法的多組件結構系統拓撲布局協同優化技術，實現了組件的空間布局與支撐結構拓撲構型的協同設計；張衛紅等[8]近期提出了部件級多組件結構系統的整體式布局優化設計，實現了組件、部件位置與支撐結構的協同優化。圖2給出了典型多組件結構系統布局優化的示意圖。

多組件結構系統協同優化面臨的主要挑戰之一是如何有效避免不同組件之間的干涉問題。組件數目過多會導致組件之間干涉約束函數的非線性程度增加，使求解變得困難。為了解決這種干涉問題，學者們提出了運用如八叉樹法(Octrees)[9-10]、球體樹法(Sphere Trees)[11]以及基于S邊界樹法(S-bounds Based Trees)[12]等方法判斷不同組件之間的干涉重疊，不同組件的輪廓用一系列不同尺度的立方體或球體近似描述，然而這些方法的局限性在于其只能檢測干涉而無法計算干涉，這樣就無法判斷優化問題的尋優方向，也就很難獲得最優解。因此，現有工作大多采用無需靈敏度分析的遺傳算法[13]和蟻群算法[14]等啟發式算法來研究包含系統質心[13,15]和轉動慣量[16]等物理約束的空間裝填布局問題。

隨后，基于梯度優化算法的一些方法被相繼提出，如Zhang 和 Zhu 等[17]提出了有限包絡圓方法(Finite Circle Method, FCM)，這種方法可以獲得組件之間干涉約束函數的靈敏度，在有限包絡圓方法中，組件輪廓用一系列包絡圓近似描述(三維組件為包絡球)，通過約束包絡圓之間的不干涉實現組件之間的不干涉。這種方法雖然可以解決組件之間的干涉問題，但是會引入大量的干涉約束函數，尤其在組件數目很多的情況下，由于干涉約束函數的非線性程度增加，保證組件之間不發生干涉十分困難，對于約束函數數目較多的優化問題，相關學者通過一定的約束凝聚方式進行處理，如P-norm函數、KS函數法[18]等。但是對于非線性程度很高的問題，約束凝聚也存在一定的局限性。除有限包絡圓方法外，單鵬[19]、Kang和Wang[20]提出水平集(Level-set)方法，該方法通過積分運算強制約束組件之間的干涉區域面積為0以保證組件之間不發生干涉。

圖2 多組件結構系統布局優化示意圖 Fig.2 Illustration of integrated layout and topology optimization of a multi-component system

早期關于罰函數的研究工作是將帶約束優化問題轉化為無約束優化問題進行求解，例如Courant[21]在1943年提出用罰函數求解微分方程。20世紀60年代，Fiacco和Mccormick[22]提出了混合罰函數，用來求解包含等式、不等式的約束優化問題，擴大了罰函數的應用范圍。Chen等[23]用混合罰函數修正了雞群算法(Chicken Swarm Optimization， CSO)，解決了帶約束優化問題。Huang[24]、Jayswal[25]和Yu[26]等用不同形式的罰函數求解了帶約束優化問題。

在此基礎上，本文提出應用混合罰函數方法解決多組件結構系統布局優化設計中組件之間相互干涉的問題，應用有限包絡圓方法描述組件的外形輪廓，組件與其支撐結構之間的連接用多點約束技術(Multi-point Constraints，MPC)模擬[27]，通過罰函數將包含大量干涉約束的優化問題轉化成無干涉約束的優化問題，以結構的整體剛度最大為目標對多組件結構系統進行協同優化設計。

1 優化設計模型定義

1.1 基于罰函數的干涉約束處理

前期學者的工作已經表明，有限包絡圓方法在多組件結構系統布局優化設計中，可以很好地解決組件之間的干涉問題。事實上，要盡可能準確地描述組件的外形需要定義大量的包絡圓，這樣勢必會導致干涉約束函數數目的增加，干涉約束函數的非線性程度也隨之增加，基于梯度的優化算法很難實現對各個干涉約束函數的有效約束。

考慮式(1)所示形式的包含不等式約束的最優化問題。

(1)

式中：f(x) 為優化目標函數；x為優化問題設計變量；ci(x)為第i個優化約束函數。

根據最優化方法理論[27]，這里不加證明地給出上述約束最優化問題的外懲罰函數形式為

minp(x,σ)=f(x)+

(2)

式中：σ為外懲罰因子。同樣地，該約束最優化問題對應的內懲罰函數可以寫為

(3)

式中：κ為內懲罰因子。

不同的是，外懲罰函數所求得的最優解大多是從原優化問題可行域外部趨向于可行域邊界的解，內懲罰函數的尋優范圍必須在可行域內部。兩種構造方式各有利弊，外懲罰函數可以求解一般約束問題，但無約束優化問題的最優解往往是可行域外部趨于可行域邊界的解。內懲罰函數只能求解不等式約束優化問題，但能保證無約束優化問題的最優解嚴格落在可行域內。

事實上，上述懲罰函數構造方式有時在求解時面臨一些困難。一方面，原優化問題的目標函數與約束函數的數量級不同，構造的無約束最優化問題的性態很難保證，如果原目標函數的數量級遠遠大于約束函數，那么約束的影響就會很小，極易導致約束無法滿足，反之如果約束函數的數量級很大，則原目標函數極有可能被覆蓋掉，導致優化無法進行。

本文中對懲罰函數進行改進，針對多組件結構系統布局優化設計方法，提出了新的歸一化的懲罰函數方法。考慮由有限包絡圓方法引入的干涉約束函數：

(4)

這里先給出由干涉約束函數構造的懲罰函數的懲罰項(見式(5))，包含結構應變能的無干涉約束最優化問題的目標函數稍后給出。

(5)

式中：第1個式子右端前后兩項分別記為外、內懲罰項；α和β分別為外、內懲罰因子；ri0和sj0分別為ri和sj對應的初始值(初始值為非零可行解)。在懲罰函數范圍變化不大的情況下，通過上述變換可以有效避免因干涉約束函數數量級不匹配帶來的病態問題。其中l1為所有非正的干涉約束函數的數目，m為干涉約束的總數目，在優化過程中，每次迭代需要對干涉約束函數進行判斷，對于非正的干涉約束函數采用外懲罰處理，對于大于0的干涉約束函數用內懲罰處理。事實上，外懲罰項的作用是，當干涉約束非正時，增大懲罰項值以使目標增大，通過優化算法將約束向可行域內拉近，一旦約束函數跳入可行域內，在內懲罰項的作用下，越接近可行域邊界的函數受到的障礙作用越大，越不易逃離可行域，以此實現對各個干涉約束的有效控制。有必要指出，懲罰因子的選取對計算結果的好壞有重要影響，懲罰因子太大或太小都有可能得不到合適的最優解，本文給出適用于本優化問題的懲罰因子初始值，并定義迭代格式，使懲罰因子在給定的范圍內迭代。

圖3 多組件結構系統的有限包絡圓劃分示意圖Fig.3 Illustration of approximation of a multi-component system by finite circle method (FCM)

αt+1=2αt，t=1,2,…,iter,α1=1

(6)

βt+1=2βt,t=1,2,…,iter,β1=10 000

(7)

迭代終止的條件是相應的外、內懲罰項落在各自的控制誤差ε(ε=0.000 1)內。t為迭代步次，iter為迭代進行的總次數。給定外、內懲罰因子的上限分別為10和106。

1.2 系統質心位置約束

本工作引入系統質心位置約束。對于多組件結構系統而言，通過杠桿原理可以得到系統的質心位置為

(8)

式中：mε和mi分別為組件ε和設計域單元i的質量；[xGyGzG]T、[xGεyGεzGε]T和[xGiyGizGi]T分別為系統、組件及設計域單元的質心位置。

式(8)變形可得

(9)

對于給定的多組件結構系統，質心位置約束可以寫為

(10)

式中：ai、bi(i=1,2,3)構成了相應坐標分量在全局坐標系下的變動范圍。

1.3 優化模型

應用多點約束技術模擬組件與其支撐結構之間的剛性連接，多點約束技術引入的多點約束方程是節點位移的線性組合，多個多點約束方程和邊界條件方程可以統一寫為

Hu=0

(11)

式中：H為由結構單元的形狀函數、多點約束位置和邊界條件共同決定的系數矩陣；u為多組件結構系統的整體位移向量。

考慮多點約束方程，修訂后的系統勢能可以寫為

(12)

式中：K和u分別為結構整體剛度矩陣和位移向量；F和λ分別為節點載荷和拉格朗日乘子向量。駐點處的歐拉公式可以寫為

(13)

求解式(13)可以得到u和λ。

優化過程中，需要考慮組件布局、結構拓撲構型這兩類設計變量，即

(14)

式中：(xε,yε,θε)為描述組件ε位置的幾何設計變量，包括平動及轉動坐標；ηi為主結構設計域單元i的偽密度設計變量；nca和nda分別為組件數目、結構拓撲設計域單元數目。應用Zhu和Zhang[7]提出的多項式插值模型對設計域結構進行拓撲優化設計。

(15)

式中：mi和Ei分別為拓撲設計域單元i的質量和彈性模量；mi0和E0分別為設計域單元i滿材料時的質量和彈性模量。本文分別取γ和τ為16和4。

記系統的應變能函數為C=(uTKu)/2，初始應變能記為C0，引入提出的懲罰函數后，優化目標包含應變能函數及組件干涉約束函數，構造如式(16)所示的目標函數。

(16)

式中：等號右端第1項，將應變能函數與系統初始應變能作比值，將其轉化為無量綱的量，比值取到極小值時，系統應變能也取到極小值。包含系統應變能和懲罰項的目標函數將原來的含有組件干涉約束的約束最優化問題轉化為無組件干涉約束的最優化問題求解，避免了分別約束各個干涉約束函數導致的因約束函數非線性程度過大而無法實現有效約束的問題，當懲罰因子取得合適的值時，式(16)的極小值就是其對應的等號右端第1項的極小值[28]。

引入多點約束技術的多組件結構系統滿足的約束條件為

(17)

式中：V和VU分別為結構材料用量及其上限；Γε和ΓD分別為組件及設計域所占空間。

2 靈敏度求解

2.1 懲罰函數靈敏度求解

首先推導無組件干涉約束的目標函數P對結構構型拓撲優化偽密度設計變量的靈敏度。

式(16)兩端同時對拓撲設計單元偽密度設計變量求偏導可得：

(18)

式中：C0為常數，易知由干涉約束函數構成的懲罰項對偽密度設計變量的靈敏度?Q/?ηi=0，因此，只要求出系統應變能函數對偽密度設計變量的靈敏度并代回式(18)即可。

式(13)中第1式兩端同時對偽密度設計變量求偏導可得：

(19)

假設F=f+G，其中f為設計無關載荷，G為設計相關載荷，如重力、慣性力、離心力等。設計無關載荷f對偽密度設計變量的靈敏度為0，因此式(13)中第1式可以簡化為

(20)

結構總體應變能可以表達為

(21)

聯立式(19)～式(21)，應變能對偽密度設計變量ηi的靈敏度可以寫為

(22)

根據已知的?HT/?ηi=0，可以得到：

(23)

由于uTHT=0，故式(23)可以簡化為

(24)

式(24)中設計相關載荷G和整體剛度矩陣K可根據材料質量和材料插值模型求得。結構整體位移向量u可以通過一次有限元分析得到。將式(24)代入到式(18)可以求得：

(25)

式(16)兩端同時對組件平動幾何設計變量ξi求偏導得：

(26)

先求應變能函數對組件幾何設計變量的偏導，可得：

(27)

(28)

由?F/?ξi=0，uTHT=0，可以得到：

(29)

假設ξi是第i個組件的平動坐標設計變量，由于在有限元分析過程中組件平動不會影響總體剛度矩陣，可知?K/?ξi=0，這樣式(29)就可以簡化為

(30)

如果ξi是第i個組件的轉動坐標設計變量，則當組件在有限元分析過程中發生轉動時，組件的剛度矩陣可以寫為

(31)

(32)

最終，系統總體應變能對轉動設計變量的靈敏度可以寫為

(33)

系統的應變能函數對組件幾何設計變量的靈敏度可以統一寫為

(34)

懲罰項Q對組件幾何設計變量的靈敏度可以根據有限包絡圓方法很容易地求得，聯立式(34)代回到式(26)中即可。

2.2 質心位置約束靈敏度求解

式(8)兩端同時對第i個設計域單元的偽密度設計變量ηi求偏導，可得

(35)

式(35)變形可得

(36)

將式(15)代入到式(36)可得

(37)

類似地，系統質心位置對組件位置幾何設計變量的靈敏度可以很方便地求解。需要指出的是，本工作中，由于組件的轉動中心及平動參考中心定義在組件質心上，因此，組件轉動不會改變組件的質心位置。這樣一來，系統質心對組件轉動幾何設計變量的靈敏度即為0。假定ξi是某個組件的一個平動位置設計變量，那么式(8)兩端同時對ξi求偏導可得

(38)

式(38)中，如果ξi=xG ε，則式(37)可以寫為

(39)

同樣道理，如果ξ=yGε，則式(38)可以寫為

(40)

本工作中，組件只在xOy平面內運動，故組件的運動對整個系統z向質心分量無影響。

2.3 其他約束函數的靈敏度求解

對于設計域材料用量約束，其對偽密度設計變量的靈敏度為常數，對各組件幾何設計變量的靈敏度均為0。

3 數值算例

3.1 包含3個組件的懸臂梁結構系統

圖4 懸臂梁結構系統示意圖Fig.4 Illustration of cantilever system

考慮如圖4所示的懸臂梁結構，3個組件在設計區域內按圖布置，拓撲設計域為1.5 m×0.6 m 的矩形區域，厚度為0.02 m，左端上、下施加邊界條件，各固定一段長度為0.08 m的區域，下端在距固定端0.75 m、1.50 m處均施加水平向右、豎直向下的1 kN的集中力。設計域內，按圖4所示安放3個組件(組件尺寸如圖5所示)，每個組件與設計域之間通過多點約束技術建立剛性連接，圖6給出了組件的有限包絡圓近似及組件與設計域建立連接的位置。設計區域及組件的材料屬性如表1所示。

首先應用傳統的分別約束組件之間各個干涉約束函數的方法對上述系統進行布局優化設計，要求整體剛度最大，使組件之間滿足非干涉要求，約束設計區域材料用量比的上限為0.4，組件在系統中的初始布局如圖4所示，經過120次迭代，優化問題收斂，系統應變能C=0.051 J。最終所有組件之間均未發生干涉。圖7直接給出了最終的優化結果。

圖5 懸臂梁結構系統組件尺寸Fig.5 Size of components in cantilever system

圖6 組件有限包絡圓描述Fig.6 Approximation of components by FCM

表1 懸臂梁結構的材料屬性Table 1 Material properties of cantilever system

圖7 用傳統約束處理方法得到的優化結果 Fig.7 Optimized design using standard method for dealing with constraints

隨后，應用本文提出的方法，對上述結構系統重新進行布局優化設計，圖8給出了結構的優化迭代歷史。

圖9給出了上述兩種方法的優化過程收斂曲線。

對比分別約束各干涉約束函數與應用本文提出的懲罰函數方法求得的結果可發現，兩者拓撲設計域構型相似但不完全相同，均形成了合適的傳力路徑，組件作為承力件合理地布置在設計域內。

圖8 優化迭代歷史Fig.8 Iteration history of optimization

圖9 兩種方法的優化過程迭代曲線Fig.9 Convergence history of optimization by above two methods

優化過程中，應用懲罰函數方法計算的應變能變化平穩，而傳統的分別約束各個干涉約束函數的方法計算的應變能跳動較大，兩者最終都收斂，優化結果顯示兩種方法計算的系統應變能相差不大，相對誤差為3%。可見，本文所提方法是有效可行的。

為了進一步驗證方法的適用性，仍以上述懸臂梁為拓撲設計域，用本文所提方法處理組件之間的干涉約束，初始將各組件干涉布置，各組件的初始布局如圖10所示，其中虛線部分表示組件之間的干涉區域。這里，由于算法要求各個干涉約束的初始值均為可行解，故仍以第1組算例中各個干涉約束函數的初始值作為本次計算的初始值。圖11給出了此初始條件下優化問題的設計結果。

如圖12所示，經過88次迭代，系統應變能函數收斂于0.048 J，由于初始組件是干涉的，在前4步迭代中，組件只在自身位置只發生微小擾動，從第5步開始，在懲罰函數的驅動下，組件逐漸分開，圖12中給出了第5～10步迭代的組件布局，從第10步開始，描述組件的包絡圓之間已經完全沒有干涉，后續迭代中組件仍然保持著互不干涉。可見，本文所提的約束處理方法能有效避免組件之間的干涉。

圖10 組件初始干涉工況示意圖Fig.10 Illustration of system with original overlapped components

圖11 組件初始干涉的優化結果 Fig.11 Optimized design of system with original overlapped components

圖12 組件初始干涉的優化過程迭代曲線Fig.12 Convergence history of optimization of system with original overlapped components

3.2 包含24個組件的簡化掛架結構系統

以一個24組件的簡化掛架結構系統為例，進一步驗證所提方法在解決多組件結構系統布局優化問題中的適用性。多組件結構系統布局優化設計中，當干涉約束數目增多時，傳統的約束處理方式將不再實用，這里所有組件之間的干涉約束函數數目為484個，傳統的處理干涉約束的方法已經很難有效地解決這一問題。

圖13給出了簡化掛架結構系統的工況示意，一個長、寬、厚度為2.25 m×1.55 m×0.02 m的簡化掛架，以掛架左下角點為坐標原點建立坐標系，x軸正向水平向右，y軸正向豎直向上。掛架左端完全固定，右上角施加豎直向下的大小為1 kN 的集中力，右下角及下邊框距右下角0.75 m 的位置分別施加大小為1 kN、方向向下的集中力，所有組件按圖中所示位置作為初始布局，組件分別編號為1～24。系統中組件及拓撲設計域的材料屬性見表2。優化問題要求該系統剛度最大，以改進的混合懲罰函數方法建立優化目標，拓撲設計域為整個矩形區域，約束設計區域材料用量比的上限為0.5。

圖13 簡化掛架結構系統示意圖Fig.13 Illustration of simplified pylon system

圖13中，所有形狀相同的組件尺寸均相同，涉及到5種共24個不同的組件，組件的尺寸在圖14 中給出，組件的包絡圓劃分及其MPC連接位置如圖15所示。

表2 簡化掛架結構系統的材料屬性Table 2 Material properties of simplified pylon system

圖14 簡化掛架結構系統組件尺寸Fig.14 Sizes of components in simplified pylon system

圖15 簡化掛架結構系統組件有限包絡圓描述 Fig.15 Approximation of components in simplified pylon system by FCM

圖16給出了優化過程構型迭代歷史。

可見，在結構拓撲、組件布局的協同優化設計中，組件首先找到一個接近最優解的位置，隨著結構構型的不斷清晰，組件只在自身位置附近作微小擾動以達到最優解。組件之間的干涉可以得到有效控制，最終，所有組件之間沒有干涉情況且系統目標函數收斂。

對上述算例引入質心位置約束重新計算，本例約束系統質心位置xG≥1.20 m且yG≤0.77 m。由于組件材料密度大于支撐結構材料密度，為了滿足質心位置約束，組件被迫分布到靠近系統右下角點處，最終系統質心位置為(1.200，0.716) m，滿足質心約束條件及組件之間的非干涉要求，系統應變能為0.066 J。不加質心與加質心的優化結果對比如圖17所示。圖18給出了兩種情況下系統的應變能收斂曲線。

圖16 簡化掛架系統優化迭代歷史Fig.16 Optimization design history of simplified pylon system

圖17 優化結果對比Fig.17 Comparison of optimized design

圖18 系統應變能收斂曲線Fig.18 Convergence history of global strain energy

3.3 結果分析與討論

分析對比3.1節使用傳統的分別約束各個干涉約束函數的組件、結構協同優化設計結果與應用本文提出的方法得到的優化結果，不難發現：本文提出的方法在處理組件之間的干涉問題上是有效可行的，對應的目標函數平穩收斂，傳統的分別將各個干涉約束作為約束函數的方法，由于約束函數本身存在的非線性而不易找到可以平穩收斂的可行解。正如圖9所示，傳統的方法中，結構的拓撲同組件的布局不易協調，如果結構構型已經逐步清晰，一旦組件之間發生了干涉，約束函數會設法將組件分開，但此時極有可能使組件與結構之間已經形成的連接斷開，導致應變能目標迅速攀升，要再次尋找到有效的可行解，仍需要多次迭代，嚴重的甚至找不到有效的可行解，使組件懸空。這也是圖9中，傳統方法優化過程中目標函數跳躍的原因。

在3.2節，由大量組件引入了大量的干涉約束函數，由于此時的干涉約束之間的非線性程度嚴重增加，已經使傳統的方法失效，但應用本文提出的方法，在保證結構構型清晰合理的同時，可以有效避免組件之間的干涉。

4 結 論

1) 提出了多組件結構系統布局優化中處理組件干涉約束的歸一化的混合懲罰函數方法，考慮了所有干涉約束函數對系統布局優化的影響，使包含組件干涉約束的優化問題變為無組件干涉約束的優化問題。

2) 本文所提方法通過數值算例有效地解決了多組件結構系統布局優化設計中的組件干涉問題，使包含大量干涉約束的多組件結構系統布局優化設計成為可能。

3) 本文提出的歸一化的混合懲罰函數方法，由于其構造的函數在0點不連續，干涉約束函數在0點對組件幾何設計變量的靈敏度不存在。但在實際處理過程中，組件之間的干涉約束函數基本不會在0點處停留，實際也就沒有導數不存在的情況，但是為了避免這種情況的發生，本工作在干涉約束函數為0時，將其對組件幾何設計變量的導數取懲罰函數的左導數0。后續工作中，實現懲罰函數在0點連續且可導是值得深入研究的問題。

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Apenaltyfunctionbasedmethodfordealingwithoverlapconstraintsinintegratedlayoutandtopologyoptimizationdesignofmulti-componentsystems

ZHUJihong*,GUOWenjie，ZHANGWeihong，HEFei

LaboratoryofEngineeringSimulation&AerospaceComputing,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

There are an amount of overlap constraints in the integrated layout and topology optimization design of a multi-component system containing tens of components. The integrated layout and topology optimization design of multi-component systems containing varieties of components are discussed in this paper. The finite-circle method (FCM) based penalty function is applied to deal with the overlap constraints among different components. A combined penalty function consisting of compliance and overlap constraints functions is chosen as the new objective. The gradient based optimization algorithm is implemented to maximize the stiffness of the system involving hundreds of overlap constraints, a total of tens of different components. Clear configurations of structure and non-overlapping positions of components are obtained in the simultaneous integrated layout and topology optimization deign. The optimized designs have shown the validity and efficiency of the proposed penalty function in dealing with overlap constraints in the integrated layout and topology optimization design of multi-component systems.Key words: topology optimization; multi-component system; combined penalty function; overlap constraint; finite-circle method

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s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11432011,11172236); “111”Project(B07050);ScienceandTechnologyResearchandDevelopmentProjectsinShaanxiProvince(2014KJXX-37);theFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(3102014JC02020505)

2015-12-17；退修日期2016-03-28；錄用日期2016-04-29； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-05-061013

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國家自然科學基金 (11432011,11172236)； 高等學校學科創新引智計劃 (B07050)； 陜西省科學技術研究發展計劃項目 (2014KJXX-37)； 中央高校基本科研業務費專項資金 (3102014JC02020505)

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.Tel.：029-88493914-1222E-mailjh.zhu@nwpu.edu.cn

朱繼宏， 郭文杰， 張衛紅， 等. 多組件結構系統布局拓撲優化中處理組件干涉約束的懲罰函數方法J. 航空學報，2016,37(12)：3721-3733.ZHUJH,GUOWJ,ZHANGWH,etal.Apenaltyfunctionbasedmethodfordealingwithoverlapconstraintsinintegratedlayoutandtopologyoptimizationdesignofmulti-componentsystemsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3721-3733.

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10.7527/S1000-6893.2016.0137

V214.19

A

1000-6893(2016)12-3721-13

朱繼宏男， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 結構優化設計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: jh.zhu@nwpu.edu.cn

郭文杰男， 碩士研究生。主要研究方向： 結構拓撲優化設計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: wjguo@mail.nwpu.edu.cn

張衛紅男， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 多學科優化設計。Tel.: 029-88495774E-mail: zhangwh@nwpu.edu.cn

何飛男， 碩士研究生。主要研究方向： 動載作用下結構拓撲優化設計。Tel.: 029-88493914-1222E-mail: hefei@mail.nwpu.edu.cn

*Correspondingauthor.Tel.：029-88493914-1222E-mailjh.zhu@nwpu.edu.cn