擴展酉矩陣束算法實現稀疏可重構天線陣的優化設計

沈海鷗， 王布宏

空軍工程大學 信息與導航學院， 西安 710077

擴展酉矩陣束算法實現稀疏可重構天線陣的優化設計

沈海鷗， 王布宏*

空軍工程大學 信息與導航學院， 西安 710077

針對方向圖可重構天線陣列的稀疏布陣問題，提出一種基于擴展酉矩陣束算法的優化設計算法。首先建立以陣元位置和多組激勵為變量的多方向圖聯合稀疏優化模型，并利用期望方向圖采樣數據構建Hankel塊矩陣。然后通過centro-Hermitian化處理和酉變換將采樣矩陣從復數域轉換到實數域，舍棄實矩陣中較小的奇異值對可重構線陣進行稀疏。最后通過對等價矩陣束的廣義特征值分解估計稀布陣元位置，進而得到每個方向圖對應的激勵。仿真驗證了該方法能夠以陣元非均勻稀疏分布的陣列形式有效實現多個方向圖的精確重構。

陣列信號處理； 稀疏陣列； 方向圖可重構天線； 擴展酉矩陣束； 特征值分解

伴隨綜合電子戰系統的日益發展，為滿足通信、導航、電子對抗等功能集成的需求，天線的數量和復雜程度大幅增加，利用盡可能少的天線實現多個不同的功能成為亟待解決的技術難題[1-2]。作為多功能陣列天線實現的關鍵技術基礎，方向圖可重構陣列天線受到廣泛關注[3-4]，它利用一個天線陣列，根據實際的應用需求實時動態地重構天線方向圖，通過方向圖的切換以實現原先由多個天線陣列完成的多功能、多任務[5-6]。這樣可以有效節省平臺空間、降低系統的整體成本，同時與多個任務需要多個天線實現，每個天線對應單個獨立任務的天線系統相比，由于所用天線單元數量的減少，還可以一定程度地減少雷達散射截面，以及避免存在于多個天線之間的電磁兼容問題[7]。可重構天線作為一種新的天線形式，之所以能夠實現天線參數的重構以及不同工作模式的切換，其本質是通過改變天線的電流分布實現的。具體實現方法大致分為改變天線單元的內在結構和改變天線外部的饋電網絡兩類。第一種方式會增加天線單元的設計難度，不適合輻射體較小的情況[8]。而改變饋電結構的方式是通過對饋電激勵源本身參數的改變來實現方向圖重構，不需要對天線單元單獨設計，成本較低、更易實現，近些年國內外學者對此進行了相關研究[5-10]。

文獻[5-6]僅通過改變均勻陣列天線的饋電相位實現陣列方向圖的控制，簡化了饋電系統，但其自由度較小。文獻[9-10]利用優化算法對陣元等間隔布置的陣列天線饋電激勵進行控制以實現方向圖可重構。相比于等間隔均勻布陣的方式，非均勻稀疏陣列天線在減少陣元個數，提高孔徑利用率、抑制互耦等方面具有明顯優勢，它在單個天線陣列設計中得到了很好的應用。文獻[11-14]通過優化稀布陣列的位置和激勵，能夠以較少的陣元個數獲得期望的方向圖性能，然而這些稀疏優化布陣方法很難直接應用到方向圖可重構的陣列天線中，這是因為由不同方向圖求解得到的最優稀疏陣元位置不同，很有可能導致陣元間距過小而無法布陣。劉顏回等在文獻[13-14]的基礎上，將矩陣束方法擴展到稀疏可重構陣列的設計中，通過激勵的改變實現不同的方向圖性能。然而由于該方法涉及的矩陣運算均在復數域進行，求得的陣元位置可能為復數，對陣元位置的近似處理不能有效保證方向圖的擬合精度。

因此，如何在同一天線孔徑上，選擇少于均勻布陣所需的陣元個數，通過改變陣元的饋電激勵以實現不同方向圖的重構，是本文重點研究的內容。這需要實現多個方向圖位置和激勵的聯合求解，并且使不同方向圖共享相同的稀疏陣元位置，僅通過改變饋電激勵以實現不同方向圖的切換。本文提出一種有效求解上述問題的擴展酉矩陣束(Extended Unitary Matrix Pencil,EUMP)算法，在建立多方向圖聯合稀疏優化模型的基礎上，由方向圖采樣數據及其共軛構建centro-Hermitian矩陣，并利用酉變換將該復矩陣轉化為實矩陣，舍棄實矩陣中較小的奇異值來減少可重構線陣的陣元數目，最后根據等價矩陣束的廣義特征值分解和總體最小二乘準則得到稀布陣列的一組陣元位置和多組激勵。由于奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)和特征值分解(Eigenvalue Decomposition, EVD)的計算均在實數域進行，并可以直接得到陣元位置的實數解，該算法具有計算復雜度低和方向圖擬合度高的優勢，利用少量陣元即可重構出不同方向圖。

1 EUMP實現稀疏可重構天線陣

1.1 多方向圖聯合稀疏優化模型

假設均勻方向圖可重構線陣由N個全向陣元組成，通過改變饋電激勵可得陣列天線的M種工作模式，即重構出M種不同的期望方向圖。陣因子可表示為

(1)

稀疏方向圖可重構線陣通過對陣元位置和激勵的聯合優化求解，得到非均勻稀疏分布的單元位置及M組陣元激勵，采用盡可能少的陣元數Q即可實現M個期望方向圖的切換，其模型可表示為[15]

(2)

1.2 算法描述

以uk=kΔ=k/K(k=-K,-K+1,…,0,…,K)為采樣點在-1到1間對陣因子進行P=2K+1點等間隔均勻采樣，可得

(3)

[Ze]D×E=[Z(1)Z(2)…Z(M)]

(4)

(5)

式中：D=L+1，E=M(P-L)，束參數L滿足N≤L≤P-N。那么，極點rn(n=1,2,…,N)是矩陣束(Z2,Z1)的廣義特征值[16]，即

(6)

為了降低矩陣運算復雜度，考慮對Hankel塊矩陣Ze實數化處理，由于酉變換能夠將centro-Hermitian復矩陣轉變為實矩陣，因其在減少計算量方面的優勢而被用于高分辨的子空間類方法中[17-18]。因此，利用酉變換求解包含方向圖采樣信息的實矩陣，首先需要根據采樣矩陣Ze構造具有centro-Hermitian特性的矩陣Zc，使其滿足[19]：

(7)

式中：上標*表示共軛運算，ΠD為D階單位反對角置換矩陣，即

(8)

那么，對于復矩陣Ze，根據其共軛及單位反對角置換矩陣，相應的centro-Hermitian矩陣Zc可表示為

(9)

對Zc進行酉變換[20]，可得實矩陣Zr為

(10)

式中：YD為D階酉矩陣，且有

YD=

(11)

J2Zc=rnJ1Zc

(12)

式中：

(13)

(14)

將式(10)代入，式(14)可簡化為

(15)

根據酉矩陣和單位反對角置換矩陣的性質，式(15)左邊等效為

(16)

結合式(15)和式(16)，有

(17)

[Re(X)-jIm(X)]Zr=

[Re(rn)+jIm(rn)][Re(X)+jIm(X)]Zr

(18)

由于Re(rn)=cos(k0dnΔ)，Im(rn)=sin(k0dnΔ)，移項可得

-tan(k0dnΔ/2)Re(X)Zr=Im(X)Zr

(19)

因此，-tan(k0dnΔ/2)(n=1,2,…,N)為矩陣束(Im(X)Zr,Re(X)Zr)的廣義特征值。為了減少陣元數目，對實矩陣Zr奇異值分解：

(20)

式中：I=min{D,2E}，U=[u1u2…uI]和V=[v1v2…vI]分別為左奇異向量矩陣和右奇異向量矩陣，Σ=diag(σ1,σ2,…,σN,…,σI)為對角矩陣，σ1≥σ2≥…≥σI。N元均勻線陣包含N個非零奇異值，有σi=0(i>N)，但通常只需要更少的非零奇異值就能得到Zr的低階逼近矩陣，該矩陣包含陣元個數少于N的稀布線陣的方向圖重構數據，即通過舍棄Σ中較小的奇異值以實現陣列的稀疏優化布陣。因此，-tan(k0dqΔ/2)(q=1,2,…,Q)是矩陣束(Im(X)UL,Re(X)UL)的廣義特征值yq：

{Im(X)UL-yqRe(X)UL}?

{[Re(X)UL]?[Im(X)UL]-yqI}

(21)

W=(RHR)-1RHF=

(22)

式中：

(23)

1.3 實現步驟

EUMP利用酉變換將復數域的SVD和EVD問題的求解分別等效為實矩陣的SVD和等價實矩陣束的EVD，計算量減少約3/4。通過分析EUMP主要步驟的實數乘法運算次數可大致估計算法的計算量，該算法共需要(D2E+5D3+1.5Q2D+5Q3+ 1.5Q2P+QPM)次乘法，其計算復雜度主要由SVD的計算量決定。下面給出該算法實現方向圖可重構稀疏線陣的具體步驟：

步驟1構造實值方向圖采樣矩陣。由M種期望方向圖的采樣數據計算擴展復矩陣Ze，并根據centro-Hermitian處理合成復矩陣Zc，再通過酉變換求解實數據矩陣Zr。

步驟2奇異值分解。對實矩陣Zr奇異值分解，保留Q個較大的奇異值以得到相應的左奇異向量矩陣UL。

步驟5性能評估。根據式(26)計算重構方向圖與期望方向圖的歸一化匹配誤差：

(24)

2 仿真結果及分析

基于多方向圖聯合稀疏優化模型，以N=30的均勻可重構線陣可實現的3種典型波束形狀(筆形波束、平頂波束[22]、余割波束[22])為3個期望方向圖進行仿真實驗(CPU3.40 GHz，3.46 GB RAM，Matlab2012b)。由于本文算法通過減少實值方向圖采樣矩陣奇異值的個數對陣列進行稀疏，綜合考慮稀疏率和方向圖擬合程度的要求，奇異值個數(陣元個數)Q在22～24間取值，可保證可重構線陣的稀疏率在73%～80%的條件下，重構方向圖與期望方向圖歸一化匹配誤差ξ在1×10-5到1×10-3之間。

2.1 束參數的選擇

為了研究ξ關于束參數L的變化趨勢，進行如下仿真。以Q=23為例，對于不同K值，ξ與L的關系如圖1所示。由于L的取值滿足N≤L≤2K+1-N，在仿真中取K=xN(x=1.5,2.0,2.5,3.0)，則有30≤L≤30 (2x-1)+1。從圖1中可以看出，4條曲線的變化趨勢大致相同，ξ分別在L=61,91,114,137時取得最小值8.537 7×10-5,5.547 8×10-5,5.388 8×10-5,5.315 7×10-5。以K=(2,3)N為例，對于不同Q值，ξ與L的關系如圖2所示，由圖可知，相同的參數設置(同K,L)，陣元個數越多，方向圖擬合程度越高，圖中標出了不同條件下ξ的最小值點。

圖1 不同K值下歸一化誤差ξ關于束參數L的變化趨勢Fig.1 Behaviors of ξ versus L with different K values

圖2 不同Q值下歸一化誤差ξ關于束參數L的變化趨勢Fig.2 Behaviors of ξ versus L with different Q values

2.2 有效性驗證

為了驗證算法實現方向圖可重構稀疏線陣的有效性，以K=2N為例，分別取Q=23，L=91和Q=22，L=88進行仿真。圖3(a)和圖3(b)分別給出了不同陣元個數u下重構方向圖與期望方向圖的比較，從圖中可以看出，相比于均勻可重構線陣所需的30個陣元，本文算法節省約25%的陣元個數即可有效控制波束形狀，能夠重構出與均勻線陣3種期望方向圖性能近似一致的波束方向圖，ξ分別為5.547 8×10-5和1.049 0×10-3。分段截取方向圖曲線的不同區間進行觀察，如圖4(a)和4(b)所示，從圖中可以看出，對于Q=23的情況，本文算法在主瓣賦形區波束形狀和旁瓣電平均能滿足要求的前提下，通過改變陣元激勵就能夠得到3種與期望方向圖形狀保持一致的波束方向圖，可以實現與期望波束的高精度擬合。對于Q=22的情況，本文算法在主瓣賦形區能夠與期望波束匹配，但其旁瓣電平有所升高，對于精確賦形要求較高的應用場合，可以通過增加陣元個數來提高方向圖擬合程度。不同陣元個數時，可重構線陣的陣元位置及相應激勵見表1。

為了驗證算法在重構方向圖擬合精度及計算時間方面的優越性，采用文獻[15]算法對上述均勻可重構線陣進行稀疏，取Q=22，比較兩種算法在相同稀疏率條件下的方向圖性能，具體結果如表2所示，可以看出，本文提出的EUMP算法具有更小的方向圖匹配誤差，計算時間大約為文獻[15]算法的1/4，這是因為本文算法采用的酉變換將主要的矩陣運算從復數域轉換到實數域，能夠直接得到陣元位置的實數解，提高了方向圖擬合精度，同時復矩陣運算變為實矩陣運算也導致了計算量的減少。圖5和圖6給出了文獻[15]算法重構方向圖與期望方向圖的比較，由圖可知，該算法可以在保證一定稀疏率的條件下獲得與均勻線陣相一致的主瓣波束，但旁瓣電平明顯增加，旁瓣區域的方向圖有較大偏差。

圖3 Q=23 and 22時稀疏可重構線陣的方向圖Fig.3 Power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays for Q=23 and 22

圖4 Q=23 and 22時稀疏可重構線陣方向圖的分段截圖Fig.4 Partitioned view of power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays for Q=23 and 22

表1 可重構線陣的陣元位置和相應激勵Table 1 Element positions and excitations radiated by the uniform and the sparse reconfigurable arrays

表2 兩種算法性能的比較Table 2 Performance comparisons of two algorithms

圖5 Q=22時稀疏可重構線陣的方向圖[15]Fig.5 Power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays in Ref.[15] for Q=22

圖6 Q=22時稀疏可重構線陣方向圖[15]的分段截圖Fig.6 Partitioned view of power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays in Ref.[15] for Q=22

2.3 敏感性分析

為了分析算法的敏感性，對饋電信號進行幅相干擾，研究存在饋電偏差情況下可重構陣列的方向圖性能。以本文算法得到的陣元數為23的稀疏可重構線陣為例，對理想陣元激勵的幅度和相位(如表1所示)隨機擾動，進行500次Monte-Carlo仿真。圖7分別給出了方向圖歸一化誤差隨幅相擾動范圍的變化曲線。由圖可知，該算法可以容忍一定程度的饋電幅相誤差，但隨著饋電偏差的增大，算法的性能有所損失。為了保證重構方向圖與期望方向圖較高的擬合精度(ξ<2×10-3)，當饋電信號的幅度偏差小于理想幅度的±12%，相位偏差小于理想相位的±5%時，該算法可以滿足應用要求。圖8給出了饋電幅度偏差為±5%條件下稀疏可重構線陣的3種方向圖，從圖中可以看出，筆形方向圖與其期望方向圖最接近，而余割方向圖與期望方向圖的擬合程度較差，也就是說，余割方向圖對于饋電偏差更敏感，該方向圖的精確賦形對饋電激勵的準確性有更高的要求。

圖7 不同幅相擾動下的方向圖歸一化誤差 Fig.7 Normalized error under different amplitude perturbation and phase perturbation

圖8 存在饋電偏差時的筆形方向圖、平頂方向圖以及余割方向圖 Fig.8 Pencil pattern, flat-top pattern and cosecant pattern with feeding perturbation

3 結 論

1) 建立以陣元位置和多組激勵為變量的多方向圖聯合稀疏優化模型，通過共享相同的稀疏陣元位置，改變每個陣元的饋電激勵以實現不同方向圖的重構。相比于等間距的均勻可重構陣列，該稀疏可重構陣列模型在減少陣元個數及抑制互耦等方面具有優勢。

2) 提出一種有效求解多方向圖聯合稀疏優化模型的擴展酉矩陣束算法。酉變換的引入保證得到的陣元位置為實數，有效避免了復數解引入的近似處理問題；且奇異值分解和特征值分解均在實數域進行，計算量較小。因此，該方法具有計算復雜度低和方向圖擬合度高的特點。

3) 仿真實驗表明該方法能夠以陣元非均勻稀疏分布的陣列形式有效實現多個方向圖的精確重構。

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Extendedunitarymatrixpencilalgorithmforoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarrays

SHENHaiou,WANGBuhong*

InformationandNavigationCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xian710077,China

Aninnovativemethod,extendedunitarymatrixpencil(EUMP)algorithm,isproposedfortheoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarrays.Thejointsparseoptimizationmodelisestablishedwithelementpositionsandexcitationsasthedesignvariables,andanextendedblock-Hankelmatrixcanbeconstructedaccordingtosampledataofthedesiredpattern.Thenthroughcentro-Hermitianmatrixandunitarytransformation,thiscomplex-valuedsamplematrixcanbetransformedintoreal-valuedone,ofwhichsmallersingularvaluesarediscardedtoreducethenumberofantennaelements.Thegeneralizedeigenvaluesofequivalentmatrixpencilareexploitedtoestimatethesparsearrayelementpositionsandtheircorrespondingexcitationsaccurately.Simulationresultsvalidatethatmultiple-patternscanbereconfiguredwithnon-uniformarrangementsbythisalgorithmefficiently.

arraysignalprocessing;sparsearray;patternreconfigurableantenna;extendedunitarymatrixpencil(EUMP)method;eigenvaluedecomposition

2015-12-21；Revised2016-03-29；Accepted2016-06-14；Publishedonline2016-06-201341

2015-12-21；退修日期2016-03-29；錄用日期2016-06-14； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-06-201341

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沈海鷗， 王布宏. 擴展酉矩陣束算法實現稀疏可重構天線陣的優化設計J． 航空學報,2016,37(12):3811-3820.SHENHO，WANGBH.ExtendedunitarymatrixpencilalgorithmforoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarraysJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3811-3820.

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10.7527/S1000-6893.2016.0191

V219； TN820

A

1000-6893(2016)12-3811-10

沈海鷗女， 博士研究生。主要研究方向： 陣列信號處理、 雷達信號處理。Tel.: 029-84791772E-mail: haioushen1990@sina.com

王布宏男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 陣列信號處理、 陣列誤差校正。Tel.: 029-84791762E-mail: wbhyl@aliyun.com

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*Correspondingauthor.Tel.：029-84791762E-mailwbhyl@aliyun.com