應用旋轉矩陣的衛星姿態輸出反饋機動控制

黃靜， 劉剛， 劉付成， 李傳江

1.上海航天控制技術研究所， 上海 201109 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室， 上海 201109 3.哈爾濱工業大學 航天學院， 哈爾濱 150001

應用旋轉矩陣的衛星姿態輸出反饋機動控制

黃靜1,2,*， 劉剛1,2， 劉付成1,2， 李傳江3

1.上海航天控制技術研究所， 上海 201109 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室， 上海 201109 3.哈爾濱工業大學 航天學院， 哈爾濱 150001

針對衛星姿態機動控制問題，提出一種只利用向量測量信息的無角速度反饋的輸出反饋控制方法。衛星姿態的指向直接通過旋轉矩陣進行描述，而不是先進行參數化過程，避免了由歐拉角、修正的羅德里格參數(MRPs)與四元數等姿態描述方式產生的奇異問題與退繞問題。首先，通過向量測量信息與一組期望姿態向量，引入一個新的姿態指向誤差向量，并對其性質進行分析。其次，進一步結合主導濾波器的思想，設計了無需角速度信息的衛星姿態機動控制器，并應用Lyapunov理論，對閉環系統的全局穩定性進行了嚴格的證明。最后，對所提出的控制算法進行了數值仿真，其結果驗證了所設計的輸出反饋控制算法的可行性和有效性。

剛體衛星； 姿態機動； 旋轉矩陣； 輸出反饋； 向量測量

從20世紀末到現在，國內外的研究學者對剛體衛星姿態控制已經開展了廣泛的研究，從任務需求出發，研究衛星姿態系統的穩定、機動與跟蹤這3類控制問題，采用線性、非線性、自適應和魯棒控制等控制方法完成高精度的指向控制及跟蹤時變軌跡的姿態跟蹤控制[1-6]。

在早期的研究中，由于考慮的是衛星姿態的穩定控制問題，姿態角度變化較小不會出現奇異問題，因此大部分都是基于直觀的歐拉角的衛星姿態描述方式進行運動學建模和控制器的設計。接下來，人們開始研究衛星的大角度機動問題，為了解決姿態角度變化大可能出現的奇異問題，采用基于四元數或修正的羅德里格參數(MRPs)描述進行姿態控制器的設計[1-5]。但是，基于四元數或MRPs描述進行姿態控制時，在運動過程中會不可避免地出現退繞問題[6]，即初始姿態與期望姿態距離很近，但卻沿著另一條不必要的路徑大角度運動到期望姿態。

為了解決這個問題，近些年來，有些研究學者通過設計四元數偏差函數使得控制器具有抗退繞的能力[7]。進一步，為了簡化控制器的設計，研究人員[8-11]開始研究直接使用星敏感器、太陽敏感器或磁強計等慣性測量元件得到的向量信息和陀螺儀等慣性器件得到的角速度信息，來直接進行反饋以對控制器進行設計，從而無需先根據測量信息進行四元數或MRPs參數化，再進行控制器的設計。通過向量信息直接得到剛體衛星的旋轉矩陣，即秩為1的方向余弦矩陣，可以形成一個特殊的3×3的正交空間，記為SO(3)。文獻[8]針對多輸入拉格朗日系統的跟蹤控制問題，應用幾何流形理論，將系統誤差映射到空間SO(3)，設計了PD形式的反饋與前饋控制器。Chaturvedi等[9]針對剛體的姿態穩定控制問題，應用旋轉矩陣設計了連續時不變控制律，防止了其他姿態描述形式產生的復雜性與奇異性問題。文獻[10]利用旋轉矩陣設計了無需慣量信息的航天器姿態跟蹤控制律，并證明了閉環系統是幾乎全局穩定的。文獻[11]應用特殊正交矩陣研究了剛體衛星姿態穩定與跟蹤控制問題，并基于無源理論證明了所設計控制器的穩定性。Zheng和Song[12]研究了利用向量測量信息的多航天器姿態跟蹤控制問題。

以上基于旋轉矩陣進行衛星姿態的控制算法的研究都是需要衛星姿態角速度信息的，而在實際運行過程中，不可避免地會出現陀螺等慣性器件故障或測量信息不可知的情況。在過去的研究中，也有一些學者對無角速度測量信息的姿態控制進行過研究[13-15]。Lizarralde和Wen[13]應用四元數非線性濾波器代替角速度反饋信息的方法，針對機器人姿態控制問題設計了無需角速度信息的輸出反饋控制器，并證明了系統的固有無源性。高岱等[14]研究了角速度不可測量時航天器的有限時間姿態控制問題，基于有限時間控制技術，分別針對單星系統與多星系統提出了由MRPs進行姿態描述的航天器輸出反饋姿態控制算法。Zou等[15]針對含不確定性的航天器姿態系統，基于改進的Chebyshev神經網絡理論設計了兩種魯棒自適應輸出反饋控制器，采用非線性降階觀測器估計姿態四元數的導數，保證了閉環系統的一致有界穩定性。Benziane[16]基于融合慣性向量測量值，采用線性互補濾波器理論設計了姿態估計器，并將其應用于四旋翼飛行器的跟蹤控制中。

但是對于直接采用向量測量信息而不經過姿態參數化的輸出反饋控制的研究很少。而這類研究對于簡化控制器設計、減少參數化過程可能出現的問題以及解決奇異與退繞現象是非常有益的。同時，無需角速度信息又在很大程度上增加了控制律的容錯性與使用范圍。因此，本文主要考慮只有向量測量信息的無角速度反饋的衛星姿態輸出反饋機動控制問題。首先，應用一個特殊的向量代表姿態誤差，并對其性質進行分析。進一步利用主導濾波器估計姿態角速度信息，將其引入到輸出反饋控制器的設計中，最后通過穩定性證明和仿真結果可以看出此方法保證了閉環系統的全局穩定性，可以推廣至其他姿態系統的控制器設計中，具有潛在的應用前景。

1 系統數學模型

1.1 剛體衛星動力學模型

考慮剛體衛星，衛星姿態動力學方程為[17]

(1)

(2)

在本文中，衛星姿態是利用特殊正交群SO(3)中的旋轉矩陣進行描述的，即

(3)

式中：Cbi∈SO(3)為本體坐標系相對于慣性坐標系的旋轉矩陣，與軸/角參數{(a,φ)∈R3×R|aTa=1}的關系為

Cbi=Icosφ+(1-cosφ)aaT-a×sinφ

(4)

這樣，利用Cbi，剛體衛星的姿態可以表示為

(5)

此方程也被稱為泊松方程 (Poission’s equation)。

1.2 測量模型與姿態誤差

在本文中，衛星上安裝的姿態敏感器為星敏感器、磁強計或太陽敏感器等慣性敏感器的組合，能提供本體坐標系中至少兩個非共線的姿態向量測量值。假設通過慣性敏感器得到的測量值是精確的且沒有噪聲的干擾。同時假設星上沒有安裝陀螺等角速度測量元件或角速度敏感器失效，即無法得到角速度信息。衛星在本體系中的姿態信息可以通過N個姿態測量向量計算得到

(6)

(7)

記第j個期望姿態信息與真實姿態信息的誤差向量為

(8)

(9)

于是有

(10)

所有姿態誤差的總和表示為

(11)

(12)

在2.3節的穩定性證明中將會用到這個性質。

1.3 研究目標

2 輸出反饋控制器設計

2.1 指向誤差及其性質

為了方便控制器的設計，首先引入一個新的狀態誤差r∈R3，定義為

(13)

性質1在敏感器能提供本體坐標系中至少兩個非共線的姿態向量測量值，即N≥2的條件下，當r=0時，可以推得E=I或tr(E)=-1。

證明：首先，通過(v×w)×=-vwT+wvT，化簡r×可以得到

(14)

通過推導可以看出，當r=0時，r×=0，即ME=ETMT。由E的定義可知，E為一個實矩陣，那么它的特征值λk和特征向量ek滿足：

(15)

(16)

eig(E)=(1,cosθ+isinθ,cosθ-isinθ)

(17)

式中：θ為用軸/角參數表示的旋轉角。由于E的所有特征值都為實數，那么θ=0°,±180°。此時E=I或tr(E)=-1，于是得到結論：當r=0時，可以推得E=I或tr(E)=-1。

(18)

那么，

MEω=tr(ME)ω

(19)

在式(19)的兩端均左乘ωTET，由于M=MT， 經過計算得到

tr(ME)ωTEω=tr(ME)ωTETω

(20)

此時，滿足式(20)的有以下3種情況：①E=ET；② tr(ME)=0；③ω=0。首先分析第1種情況，當E=ET時，由性質1可知有E=I或tr(E)=-1。進一步分析當E=I時，有

(M-tr(M)I)ω=0

(21)

假設ω≠0，那么M=tr(M)I，由于tr(M)=λM1+λM2+λM3，λMi(i=1,2,3)為M的3個特征值，由M定義可知，當N≥3時，M的3個特征值均為正；當N=2時，M的特征值有一個為零，其他兩個均為正值。此時M=tr(M)I是不成立的，因此第1種情況只能得到ω=0或tr(E)=-1的結論。

考慮第2種情況，當tr(ME)=0時，由式(19)可得

MEω=0

(22)

當N≥3時，M為正定的，那么此時可推得ω=0；當N=2時，由M和E的定義可將式(22)變化為

(23)

(24)

(25)

那么此時有

(26)

于是得到

(27)

應用等式

(28)

E=Icosθ+(1-cosθ)bbT-b×sinθ

(29)

(30)

將式(30)代入式(27)并化簡可以得到

(31)

進一步由式(10)可得

(32)

則將式(28)～式(30)代入式(32)并化簡可以得到

(k1+k2)cosθ=0

(33)

由于k1+k2>0，那么cosθ=0，將其代入式(31)可得

(34)

2.2 控制律設計

在全狀態反饋控制器中，衛星的姿態和角速度信息全部都會被用到，而在輸出反饋控制中，僅有姿態信息的反饋?？刂破髦兴璧慕撬俣刃畔⑿枰ㄟ^其他途徑進行模擬，主導濾波器便常用于對輸入信號的微分進行估計。

首先，本文給出主導濾波器(LF)[19]的概念。主導濾波器本質上是一種非線性濾波器，如圖1所示，對于任意狀態量x∈R，其濾波方程為

(35)

由濾波方程式(35)可進一步得到主導濾波器的傳遞函數為

(36)

圖1 主導濾波器示意圖Fig.1 Sketch diagram of lead filter

本文以其旋轉誤差向量作為唯一反饋信息，并將其作為主導濾波器的輸入，則相應的濾波方程為

(37)

(38)

由式(18)可知

(39)

在以上準備工作的基礎上，本文給出了一個不需要角速度反饋的輸出反饋衛星姿態控制器：

(40)

(41)

式中：kr為待設計的正常數。

2.3 穩定性證明

下面進行控制器式(40)的穩定性證明。

(42)

證明：考慮正定Lyapunov函數：

(43)

對式(39)求導，并將式(1)、式(39)和式(40)代入計算可得

ωT(-ω×Jω+u)+krωTr+

-2kρTρ≤0

(44)

注1從控制器式(40)中可以看出，控制器中不含有與衛星轉動慣量有關的量，即衛星在運動中轉動慣量的變化對控制效果沒有影響，提高了控制器的控制性能。

注2由于控制器式(40)是直接使用向量測量信息得到的，不存在四元數等描述方式會出現的退繞現象。

3 數學仿真分析

本節在MATLAB/Simulink環境下進行數值仿真實驗，驗證第2節提出的控制算法的有效性。

1) 仿真條件

假設衛星運行在太陽同步軌道，軌道高度為600 km，軌道傾角為δ=98°，則軌道坐標系相對于慣性坐標系的旋轉矩陣Coi=C1(δ)，衛星繞滾動軸旋轉98°。進一步假設N=3，衛星上裝有3個慣性測量敏感器，能提供3個非共線的姿態向量，3個敏感器在慣性系下的觀測單位向量分別為

且各敏感器的相對重要程度相同，即

k1=k2=k3=1

衛星轉動慣量矩陣為

期望旋轉矩陣為Cri=C2(45°)Coi，C2(45°)表示衛星沿俯仰軸旋轉45°。

2) 初始條件

根據約束條件，控制參數選取為

kr=0.05,k=2

濾波器初始值選取為

在實際情況中，衛星在近地軌道受到的干擾力矩主要為重力梯度力矩和剩磁力矩，數量級大小約為10-5N·m，在本文中，假設干擾力矩為

為了進行對比說明輸出反饋控制器的有效性，本文在參考文獻[11]的基礎上設計了基于旋轉矩陣的全狀態反饋衛星姿態機動控制器

us=-krr-kωω

(45)

經過穩定性證明，可以得出應用此PD控制器，剛體衛星姿態系統為漸近穩定的，在此不再詳述。在仿真中，選取kr與輸出反饋控制器相同，kω選取為1.2。

仿真結果如圖2和圖3所示，仿真時間為500 s。圖2為采用本文提出的無角速度信息的輸出反饋控制器的衛星姿態系統的仿真結果，其中圖2(a)為標志衛星姿態機動誤差的旋轉角θ變化曲線，當θ=0°時，姿態誤差為零；圖2(b)為衛星姿態角速度ω隨時間的變化曲線，可以看出，衛星姿態系統能夠以較高的精度快速收斂到期望狀態；圖2(c)為衛星姿態三軸控制力矩u輸出變化曲線，最大單軸輸出力矩約為0.05 N·m，現有的飛輪等執行機構完全可以滿足要求。

圖2 輸出反饋控制器下的衛星姿態仿真結果 Fig.2 Simulation results of satellite attitude with output feedback control law

圖3 全狀態反饋控制器下的衛星姿態仿真結果Fig.3 Simulation results of satellite attitude with full-state feedback control law

圖3為全狀態反饋控制器的衛星姿態系統的仿真結果。其中圖3(a)和圖3(b)分別為標志衛星姿態機動誤差的旋轉角θ變化曲線和姿態角速度ω隨時間變化曲線；圖3(c)為衛星姿態三軸控制力矩u輸出變化曲線。通過兩組仿真結果對比可以看出，衛星姿態控制系統均能達到要求，且收斂時間與精度基本相同。但是在輸出反饋控制器的仿真中，由于角速度信息需要通過濾波器近似，初始時需要一定時間收斂，因此初始時刻所需要的控制力矩要大于全狀態反饋控制器，但是單軸最大輸出力矩的數量級相同。仿真結果表明，即便加入外部干擾，采用本文提出的控制算法，衛星姿態閉環系統仍能穩定收斂，且與全狀態反饋控制器的控制效果基本相同，充分驗證了本文所提出的基于旋轉矩陣的輸出反饋控制器有效性。

4 結 論

本文直接利用衛星慣性傳感器獲得的向量測量信息，設計了一種無需角速度信息反饋的姿態控制律。

1) 提出的控制算法只需要兩個非共線向量的測量值就能達到全局穩定的目標，且控制器結構簡單，也不會受到運行過程中衛星轉動慣量變化的影響，同時也不存在其他姿態描述方式帶來的奇異問題與退繞問題，非常適合于實際衛星任務的應用，尤其是在傳統陀螺等角速度傳感器失效的情況。

2) 在今后的研究中，將在此基礎上，考慮傳感器噪聲等對系統的影響，并針對姿態跟蹤問題進行研究，以滿足更多的任務需求。

[1] WIE B, BARBA P M. Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1985, 8(3): 360-365.

[2] JOSHI S M, KELKAR A G, WEN J T. Robust attitude stabilization of spacecraft using nonlinear quaternion feedback[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1995, 40(10): 1800-1803.

[3] WEN J T, KREUTZ-DELGADO K. The attitude control problem[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, 36(10): 1148-1162.

[4] TSIOTRAS P. Further passivity results for the attitude control problem[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1998, 43(11): 1597-1600.

[5] EGELAND O, GODHAVN J M. Passivity based adaptive attitude control of a rigid spacecraft[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, 39(4): 842-846.

[6] BHAT S P, BERNSTEIN D S. A topological obstruction to continuous global stabilization of rotational motion and the unwinding phenomenon[J]. Systems and Control Letters, 2000, 39(1): 63-70.

[7] 胡慶雷, 李理. 考慮輸入飽和與姿態角速度受限的航天器姿態抗退繞控制[J]. 航空學報, 2015, 36(4): 1259-1266.

HU Q L, LI L. Anti-unwinding attitude control of spacecraft considering input saturation and angular velocity constraint[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(4): 1259-1266 (in Chinese).

[8] BULLO F, MURRAY R M. Tracking for fully actuated mechanical systems: A geometric framework[J]. Automatica, 1999, 35(1): 17-34.

[9] CHATURVEDI N A, SANYAL A K, MCCLAMROCH N H. Rigid body attitude control: Using rotation matrices for continuous, singularity-free control laws[J]. IEEE Control Systems, 2011,31(3): 30-51.

[10] SANYAL A, FOSBURY A, CHATURVEDI N, et al. Inertia-free spacecraft attitude tracking with disturbance rejection and almost global stabilization[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2009, 32(4): 1167-1178.

[11] FORBES J R. Passivity-based attitude control on the special orthogonal group of rigid-body rotations[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, 36(6): 1596-1605.

[12] ZHENG Z, SONG S M. Cooperative attitude tracking control for multiple spacecraft using vector measurements[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2015, 229(13): 2375-2388.

[13] LIZARRALDE F, WEN J. Attitude control without angular velocity measurement: A passivity approach[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1996, 41(3): 468-472.

[14] 高岱, 呂建婷, 王本利. 航天器有限時間輸出反饋姿態控制[J]. 航空學報, 2012, 33(11): 2074-2081.

GAO D, LYU J T, WANG B L. Finite-time output feedback attitude control of spacecraft[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(11): 2074-2081 (in Chinese).

[15] ZOU A M, KUMAR K D, HOU Z G. Quaternion-based adaptive output feedback attitude control of spacecraft using chebyshev neural networks[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2010, 21(9): 1457-1471.

[16] BENZIANE L. Attitude estimation & control of autonomous aerial vehicles[D]. Versailles: Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines, 2015: 35-54.

[17] HUGHES P C. Spacecraft attitude dynamics[M]. 2nd ed. New York: Dover Publications, Inc., 2004: 93-129.

[18] MAHONY R, HAMEL T, PFLIMLIN J M. Nonlinear complementary filters on the special orthogonal group[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2008, 53(5): 1203-1218.

[19] CACCAVALE F, VILLANI L. Output feedback control for attitude tracking[J]. Systems & Control Letters, 1999, 38(2): 91-98.

[20] KHALIL H K, GRIZZLE J W. Nonlinear systems[M]. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002: 111-133.

Outputfeedbackattitudemaneuvercontrolofsatelliteusingrotationmatrix

HUANGJing1,2,*,LIUGang1,2,LIUFucheng1,2,LIChuanjiang3

1.ShanghaiInstituteofSpaceflightControlTechnology,Shanghai201109,China2.ShanghaiKeyLaboratoryofAerospaceIntelligentControlTechnology,Shanghai201109,China3.SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China

Anoutput-feedbackattitudemaneuvercontrolstrategyintheabsenceofangularvelocityfeedbackisproposedforrigidsatellitesystembysolelyanddirectlyusingunit-lengthvectormeasurements.Theorientationofarigidbodyisdescribedbyarotationmatrixdirectly,ratherthanbyaparameterization,avoidingtheundesirablesingularproblemandunwindingphenomenoncausedbyEulerangle,quaternionorthemodifiedRodriguesparameters(MRPs)representationsoftheattitude.Aneworientationerroroftherigidbodyiscomputedbythevectormeasurementsandasetofdesiredvectormeasurements.Byusingtheleadfilter,thevelocity-freeattitudemaneuvercontrollawthatensuresset-pointregulationisdeveloped.WithintheLyapunovframework,theglobalstabilityoftheclose-loopsystemisguaranteed.Numericalsimulationresultsdemonstratethesuccessfulset-pointregulationoftheproposedoutput-feedbackcontrolstrategy.

rigidsatellite;attitudemaneuver;rotationmatrix;outputfeedback;vectormeasurements

2016-01-11；Revised2016-03-28；Accepted2016-04-06；Publishedonline2016-04-181458

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160418.1458.002.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(61304005)

2016-01-11；退修日期2016-03-28；錄用日期2016-04-06； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-04-181458

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160418.1458.002.html

國家自然科學基金 (61304005)

*

.Tel.：021-24183416E-mailhuangjing04415@163.com

黃靜， 劉剛， 劉付成， 等． 應用旋轉矩陣的衛星姿態輸出反饋機動控制J． 航空學報,2016,37(12):3774-3782.HUANGJ,LIUG,LIUFC,etal.OutputfeedbackattitudemaneuvercontrolofsatelliteusingrotationmatrixJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3774-3782.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0114

V442.8

A

1000-6893(2016)12-3774-09

黃靜女， 博士， 工程師。主要研究方向： 航天器姿態與軌道控制， 魯棒控制， 最優控制。Tel.: 021-24183416E-mail: huangjing04415@163.com

劉剛男， 博士， 工程師。主要研究方向： 航天器姿態與軌道控制， 魯棒控制， 非線性控制。Tel.: 021-24183245E-mail: unicorn1114@163.com

劉付成男， 博士， 研究員。主要研究方向： 航天器導航與控制。Tel.: 021-24183001E-mail: liufch@126.com

李傳江男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 航天器姿態與軌道控制， 最優控制。Tel.: 0451- 86413411-8606E-mail: chuanjiangli@gmail.com

*Correspondingauthor.Tel.：021-24183416E-mailhuangjing04415@163.com