提前領略高中數學知識

王冬青

提前領略高中數學知識

王冬青

高中內容的數學知識在近幾年的中考試題中頻繁出現，而多數是給出一些規定、法則或提供一定的閱讀材料，或介紹一個概念、一種解法等，讓你在理解規定、法則的基礎上，獲得解決問題的方法和思路，從而解決實際問題.其目的在于考查同學們的閱讀理解、收集處理信息和運用知識解決實際問題的能力.

例1一般地，如果函數y=f（x）對于自變量取值范圍內的任意x，都有f（-x）= -f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數；如果函數y=f（x）對于自變量取值范圍內的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數.

例如f（x）=x3+x，不管x取任何實數，都有f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），所以f（x）=x3+x是奇函數.

（1）下列函數中，①f（x）=x3，②f（x）= x2+1，③f（x）=④f（x）=⑤f（x）=x+，______是奇函數，_______是偶函數.（只填序號）

（2）請你再寫出一個奇函數和一個偶函數.

【思路突破】本題難度不大，只要抓住規定：若f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數；若f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數，問題就解決了.

【解答】（1）∵f（x）=x3，∴f（-x）=（-x）3= -x3=-f（x），∴①為奇函數，同理f（x）=f（x）也是奇函數，所以奇函數有①③⑤.

∵f（x）=x2+1，

∴f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），

∴②為偶函數.

【解后反思】該題以高中函數知識為背景，是初中函數知識的延伸，由于同學們有了一定的函數知識基礎，故只需對照題中兩例，完成對概念的探究，獲取新知識，進而應用新知識，就可以解答問題.

例2關于三角函數有如下的公式：

利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值.

根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：

如圖1，直升機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角α=60°，底端C點的俯角β=75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高.

【思路突破】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D兩點的垂直距離，CD的長由二者相減即可求得.

【解答】過D作BC的平行線交AB于E，則四邊形BCDE為矩形，

∴DE=42，∠ACB=75°，∠ADE=60°.

∵在Rt△ABC中，

∴AB=BC·tan75°=42·tan（45°+30°）

圖1　

∵在Rt△ADE中，

∴CD=BE=AB-AE=84（m）.

【解后反思】本題只介紹了三角函數中的兩角和的相關計算公式，沒有給出如何求得的，主要考查同學們應用公式的能力.

例3閱讀資料：

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得所以A，B兩點間的距離為

圖2　

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖3，在平面直角坐標系xOy中，A（x，y）為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為當⊙O的半徑為r時，⊙O的方程可寫為：x2+ y2=r2.

圖3　

圖4　

問題拓展：

如果圓心坐標為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為_______.

綜合應用：

如圖4，⊙P與x軸相切于原點O，P點坐標為（0，6），A是⊙P上一點，連接OA，使tan∠POA=作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點B，連接AB.

①證明AB是⊙P的切線；

②是否存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q？若存在，求Q點坐標，并寫出經過這四個點的圓的方程；若不存在，說明理由.

【思路突破】問題拓展：設A（x，y）為⊙P上任意一點，則有AP=r，根據資料中的兩點之間距離公式即可求出⊙P的方程.

綜合應用：①只要證明∠PAB=90°，即可得AB是⊙P的切線；

②當點Q為線段BP中點時，QO=QP= BQ=AQ，然后運用問題拓展中的結論就可解決問題.

【解答】問題拓展：設A（x，y）為⊙P上任意一點，∵P（a，b），半徑為r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2.故答案為：（x-a）2+（y-b）2=r2.

圖5　

綜合應用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

又∵PO=PA，PB=PB，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB.

∵⊙P與x軸相切于原點O，

∴∠PAB=∠POB=90°，

∴AB是⊙P的切線.

②存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q，點Q為線段BP的中點.

∵當點Q為線段BP中點時，

且∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ，

此時點Q到四點O，P，A，B距離都相等.即存在經過O，P，A，B四點的圓.

∵P點坐標為（0，6），

過點Q作QH⊥OB于H，如圖5，

則有∠QHB=∠POB=90°，

∴以Q為圓心，以OQ為半徑的圓的方程為（x-4）2+（y-3）2=25.

【解后反思】本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問題的過程中，用到了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理、切線的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數的定義等知識，有一定的綜合性.

（作者單位：江蘇省豐縣順河中學）