如何破解原創題，命題專家來揭秘

劉東升

如何破解原創題，命題專家來揭秘

劉東升

由于近年來參與各級命題（中考、縣區期末）工作，構思了很多原創考題，有機會在這里與大家一起分享，并講解命題的心路歷程，揭秘破題關鍵，也是很有意義的一件事.首先要指出的是，所謂原創題，并不是“天外飛來”，它一定有原型或影子，而這些原型往往就來自教材或同學們熟悉的經典習題，只是經過改編、包裝甚至偽裝，掩蓋了問題的本來面目，這里破解的關鍵就需要同學們擁有孫悟空的“火眼金睛”.下面舉例說明：

變式題設m＞1，m2+1=4m，求的值.

【講解】由m2+1=4m變形得（m+1）2=6m，（m-1）2=2m，于是由m＞1，所以

原創題2關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0的兩個不相等的實數根都在0和1之間（不包括0和1），則k的取值范圍是（）.

變式題已知實數m，n滿足m-n2=1，則代數式m2+2n2+4m-1的最小值等于_______.

【講解】待分析的代數式有兩個變量，由已知條件變形m=n2+1，代入m2+2n2+4m-1中，消去m，可得（n2+1）2+2n2+4（n2+1）-1，整理，得（n2+4）2-12，令y=（n2+4）2-12，接下來就是分析函數y的最小值問題.如果簡單地認為最小值是-12，則是缺少對自變量取值范圍的常識理解.

因為對于n2+4來說，可以看成拋物線（如圖2），根據非負數性質容易發現n2+4不小于4，故當n2+4=4時，如圖3，拋物線y=（n2+4）2-12有最小值4.即原式最小值為4.

圖1　

圖2　

圖3　

原創題3已知：如圖4，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF= 2OA，OE=2OD，連接EF.將△FOE繞點O逆時針旋轉α角得到△F′OE′（如圖5）.

（1）探究AE′與BF′的數量關系，并給予證明；

（2）當α=30°時，求證：△AOE′為直角三角形.

圖4　

圖5　

命題揭秘：這是我參與命題的一道中考試題，難點是第（2）問，不少考生都沒有規范證明，出現很多想當然的錯漏，需要排除干擾，把目光聚焦在△AOE′中，條件只有一個∠AOE′=60°，OE′=2OA，這時如果想到倍長OA（或取OE′的中點），構造等邊三角形就能獲得重要進展了.事實上，命題構思中，我們還有如下的兩個拓展，這里不妨鏈接如下，供大家思考：

拓展思考1：當α為多少度時，AE′有最大（小）值？

拓展思考2：在圖4中，連接AE，將線段AE繞點O旋轉一周，若正方形的邊長為2，則線段AE掃過的面積是多少？

【思路解析】拓展1中當點A，E′，O在同一直線上時取得最大（小）值，即當點E′落在OA延長線上時，AE′有最小值；當點E′落在AO的延長線上時，AE′取得最大值.而拓展2，有一個易錯點就是以O為圓心，OA，OE為半徑的同心圓之間的圓環，而這是個典型錯誤，較小的圓應該是過O作OH⊥AE于H，則OH是小圓的半徑.

原創題4如圖6，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，2），取一點M（m，0），連接AM，作線段AM的垂直平分線l1，過點M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P.

圖6　

（1）當m=3時，在圖中補全圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）小敏多次取不同數值m，得出相應的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發現：這些點P竟然在一條曲線L上！

①設點P的坐標為（x，y），試猜想并說明曲線L是哪種曲線；

②設曲線L的最低點為Q，直線l1上有一動點N，連接QN.當△APM為等邊三角形，且QN取得最小值時，求線段QN所對應的函數關系式.

規范解答：（因為這是一道中考原創模考題，下面先給出解答，然后再解說命題揭秘）

（1）考查尺規基本作圖，屬于送分題.

（2）①猜想：曲線L是拋物線.

理由如下：

如圖7，連接AP，作PB⊥y軸于B，由l1垂直平分AM得PA=PM=y.

圖7　

在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PMOA=y-2，根據勾股定理得（y-2）2+x2=y2，整理得即曲線L是二次函數的圖像，即為拋物線.

②如圖8，當△APM為等邊三角形時，∠AMP=60°，

在Rt△AOM中，∠AMO=30°，∴AM=4， OM=

設直線l1交y軸于C點，可得點C坐標（0，-2），由點C，P可確定直線l1的解析式為

根據軸對稱性質，易知P′點坐標為

易得曲線L的最低點為Q，坐標為（0，1），

如圖8，當QN取得最小值時，作QN⊥l1于 N點，此時點N的坐標為

于是設線段QN的解析式為y=kx+b，把Q（0，1），N分別代入，

圖8　

命題揭秘：從上面的解答來看，這道考題的前兩問并不復雜，主要難點在最后一問.概括來說，需要突破以下幾個關鍵點：

第一，△APM為等邊三角形能帶來哪些特殊信息？

經過深入思考，等邊三角形這個強化條件能帶來點P在拋物線上的兩處特定位置，這兩個位置恰好關于y軸對稱，即P點坐標為此外，還能發現此時Rt△AOM也是特殊的三角形（含30°的直角三角形），明確其特殊性是后續解題的關鍵.

第二，當QN取得最小值時，點Q、N位置如何？

明確函數圖像為拋物線之后，其最低點Q就是拋物線的頂點，而點N的位置如何呢？根據點到直線上各點距離的最小值是“垂線段”，所以作QN⊥l1于N點得到垂線段QN.接著要思考的就是點N的坐標，從而明確線段QN所對應的函數解析式.這里要注意的還要考慮該函數解析式的自變量取值范圍.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）