2015年鎮江市中考數學壓軸題賞析

袁宏觀

2015年鎮江市中考數學壓軸題賞析

袁宏觀

數學壓軸題是為考查考生綜合運用知識的能力而設計的，集中體現知識的綜合性和方法的綜合性，多數為函數型綜合題和幾何型綜合題.中考壓軸題大多是以坐標系為橋梁，運用數形結合思想，通過建立點與數即坐標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答.解題的關鍵是掌握幾種常用的數學思想方法.

一是運用函數與方程思想.以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組求其解析式，研究其性質.

二是運用分類討論的思想.對問題的條件或結論的多變性進行探究.

三是運用轉化的數學思想.由已知向未知，由復雜向簡單的轉換.中考壓軸題是對考生綜合能力的一個全面考查，所涉及的知識面廣，思想方法也較全面.因此，可把壓軸題分離為相對獨立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究.

原題呈現如圖1，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經過點（0，3），且當x=1時，y有最小值2.

（1）求a，b，c的值；

（2）設二次函數y= k（2x+2）-（ax2+bx+c）（k為實數），它的圖像的頂點為D.

①當k=1時，求二次函數y=k（2x+2）-（ax2+ bx+c）的圖像與x軸的交點坐標；

②請在二次函數y=ax2+bx+c與y=k（2x+ 2）-（ax2+bx+c）的圖像上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標（點M在點N的上方）；

圖1　

④當k取-2，-1，0，1，2時，通過計算，得到對應的拋物線y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）的頂點分別為（-1，-6），（0，-5），（1，-2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標是變量嗎？縱坐標是如何隨橫坐標的變化而變化的？

【分析】本題是一道以二次函數為背景的題目，綜合考查了待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、函數圖像上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質以及一元二次方程的解法等知識.

（1）設函數解析式為頂點式，把（0，3）代入求得a，然后再把a的值代入化為一般式，即得a、b、c的值；

（2）①當k=1時，可得函數解析式為y= -x2+4x-1，令y=0時，求出x的值，可寫出與x軸的交點坐標；②由于點M、N關于x軸對稱，則點M和點N的縱坐標互為相反數，即ax2+ bx+c+［k（2x+2）-（ax2+bx+c）］=0，解得x= -1，代入函數解析式y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）中，即可求出點M，N的坐標；③易得一次函數解析式為y=-可得此直線與x軸交點A（7，0），根據已知可得AE=8，MN=10，設MD交x軸于點B，作BC⊥MA于點C，利用三角形相似或銳角三角函數的定義列出等式，求得BC=3，將點B的坐標代入MB的解析式，即可求出k的值；④通過觀察頂點坐標的變化可得：當頂點的橫坐標大于-1時，頂點的縱坐標隨橫坐標的增大而增大，當頂點的橫坐標小于-1時，頂點的縱坐標隨橫坐標的增大而減小.

解：（1）設y=a（x-1）2+2，將（0，3）代入，得a=1，則y=（x-1）2+2，

即y=x2-2x+3，∴a=1，b=-2，c=3.

（2）①當k=1時，y=k（2x+2）-（ax2+bx+ c）=2x+2-x2+2x-3=-x2+4x-1.令y=0，-x2+ 4x-1=0，解得x=2±即圖像與x軸交點坐標為

②∵點M、N關于x軸對稱，則點M和點N的縱坐標互為相反數，即ax2+bx+c+［k（2x+ 2）-（ax2+bx+c）］=0，2k（x+1）=0，不論k取何值方程都有解，∴x=-1，y=ax2+bx+c=x2-2x+ 3=1+2+3=6，點M的坐標為（-1，6），∴點N的坐標為（-1，-6）.

∵MN⊥x軸，

∴E點的橫坐標為-1，∴AE=8.

又∵ME=6，∴MA=10.

如圖2，設MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C.

圖2　

∵MD平分∠NMP，MN⊥x軸，

∴直線MB的函數表達式：y=-2x+4，

y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）頂點坐標為D（k+1，k2+4k-2），將其代入y=-2x+4，得

④是.當頂點的橫坐標大于-1時，頂點的縱坐標隨橫坐標的增大而增大，當頂點的橫坐標小于-1時，頂點的縱坐標隨橫坐標的增大而減小.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）