中考數學中的“歸納猜想”

史新景

中考數學中的“歸納猜想”

史新景

歸納猜想型問題主要分為數字歸納猜想和圖形歸納猜想兩類，要求同學們在觀察、實驗、歸納、類比等基礎上大膽猜想，得出結論，并能對自己的猜想加以驗證.同學們解題時要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋找共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規律.其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發現規律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證結論.由于歸納猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現新知的重要手段，這類問題不但能培養同學們分析、歸納、解決問題的能力，也有利于培養同學們思維的深刻性和創造性，是目前中考的一大熱點，此類題目一般難度不大，題型以選擇題和填空題為主，分值在5分左右.

例1（2015·淮安）將連續正整數按如下規律排列：

若正整數565位于第a行，第b列，則a+ b=______.

【分析】根據題意可知每行都有4個數，所以用565除以4，根據商和余數的情況判斷出正整數565位于第幾行；然后根據奇數行的數字在前四列，數字逐漸增加；偶數行的數字在后四列，數字逐漸減小，判斷出565在第幾列.

【解答】∵565÷4=141…1，

∴正整數565位于第142行，即a=142.

∵奇數行的數字在前四列，數字逐漸增加；偶數行的數字在后四列，數字逐漸減小，

∴正整數565位于第五列，即b=5，

∴a+b=142+5=147.

【點評】此題主要考查了探索數列規律問題，注意觀察總結出規律，并能正確地應用規律，

例2（2015·徐州）如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為_______.

圖1　

【分析】首先求出AC、AE、AG的長度，然后猜測命題中的數學規律，即可解決問題.

【解答】根據正方形的性質，知：

【點評】此題主要考查探索圖形變化規律的問題，需要結合正方形的性質、勾股定理及其應用，歸納得出正方形邊長的變化規律.

例3（2015·鹽城）設△ABC的面積為1，如圖2（1）將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖2（2）將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……；依此類推，則Sn可表示為______.（用含n的代數式表示，其中n為正整數）

圖2　（1）

圖2　（2）

圖2　（3）

【分析】連接D1E1，因為△ABO與△OD1E1相似，得從而得到

△OAB的面積為△BE1A面積的又因為△BE1A的面積是△ABC面積的一半，所以△ABO的面積與△ABC的面積比為1∶3，以此類推可以得到答案.

【解答】如圖3，連接D1E1，可知D1E1∥AB，得△ABO∽△D1E1O，

圖3　

依此類推，Sn可表示為

【點評】此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、三角形的面積，解題關鍵是根據題意作出輔助線，得出相似三角形.

例4（2015·衢州）已知，正六邊形ABCDEF在直角坐標系的位置如圖4所示，A（-2，0），點B在原點，把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續翻轉，每次翻轉60°，經過2015次翻轉之后，點B的坐標是______.

圖4　

【分析】每6次翻轉為一個循環組循環，用2015除以6，根據商和余數的情況確定點B的位置，然后求出翻轉前進的距離，過點B作BG⊥x軸于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，最后寫出點B的坐標即可.

【解答】因為正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續翻轉，每次翻轉60°，所以每6次翻轉為一個循環組循環，因為2015÷6=335余5，所以經過2015次翻轉為第336循環組的第5次翻轉，點B處于在開始時點C的位置，如圖5.因為A（-2，0），所以AB=2，所以翻轉前進的距離為2×2015= 4030.過點B作BG⊥x軸于G，則∠BAG=60°，所以所以OG=4030+1=4031，所以點B的坐標為故答案為

圖5　

【點評】本題考查了坐標與圖形變化，正六邊形的性質，確定出最后點B所在的位置是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出直角三角形.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）