歸納猜想的根本：從特殊到一般尋找規律

劉園園

歸納猜想的根本：從特殊到一般尋找規律

劉園園

歸納、猜想、推理在初中數學學習中有著舉足輕重的作用，因此在中考中頻頻出現此類考題.歸納、猜想、推理是由特殊到一般的過程，因此解決此類題目應細心觀察分析特殊情況下的結論，進而尋找一般規律.

例1（2014·淮安）如圖1，順次連接邊長為1的正方形ABCD四邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，然后順次連接四邊形A1B1C1D1四邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點，得到四邊形A3B3C3D3，……，按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為_______.

圖1　

【思路突破】順次連接正方形ABCD四邊中點得正方形A1B1C1D1，正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，根據面積關系可得周長關系，以此類推可得正方形A8B8C8D8的周長，進而根據由特殊到一般的歸納方法，還可尋找到第n個正方形周長的一般結論.

解：順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形A1B1C1D1，則正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，則A1B1C1D1周長是ABCD周長的倍；順次連接正方形A1B1C1D1中點得正方形A2B2C2D2，則正方形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半，為正方形ABCD的則A2B2C2D2的周長是ABCD的同理，正方形A3B3C3D3的周長是正方形ABCD周長的故第n個正方形周長是原來的

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴正方形ABCD周長為4，

∴按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為

例2（2015·常州）數學家哥德巴赫通過研究下面一系列等式，做出了一個著名的猜想.

4=2+2；12=5+7；

6=3+3；14=3+11=7+7；

8=3+5；16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5；18=5+13=7+11；

…

通過這組等式，你發現的規律是______ ___________.（請用文字語言表達）

【思路突破】從題目中不難發現等式的左側是從4開始的連續偶數，即大于2的偶數，右側則是兩數和的形式，關鍵是尋找兩數有何特點或者聯系，從而得到答案.

解：通過這組等式，發現的規律是：所有大于2的偶數都可以寫成兩個質數的和.

【解后反思】尋找規律或總結規律的試題，要注意觀察相鄰兩項之間的變化：差值變化，形狀變化，大小變化等，再結合項數進行比較，總結出相應的表達式，即要充分理解運用歸納思想的根本——由特殊情況的區別與聯系到一般結論的得出.

例3（2015·安徽）按一定規律排列的一列數：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示這列數中的連續三個數，猜想x、y、z滿足的關系式是_______.

【思路突破】首先判斷出這列數中，2的指數各項依次為1，2，3，5，8，13，…，從第三個數起，每個數都是前兩數之和.然后根據同底數的冪相乘，底數不變，指數相加，可得這列數中的連續三個數，滿足xy=z，據此解答即可.

解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28= 213，…，

∴x、y、z滿足的關系式是：xy=z.

【解后反思】此題主要運用歸納思想探尋數列規律問題，考查了同底數冪的乘法法則，要注意觀察并總結規律，還要能正確應用規律.解答此題的關鍵是先判斷出x、y、z的指數特征再探尋一般規律.

例4（2014·鹽城）如圖2，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數y=x的圖像上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn的值為_____.（用含n的代數式表示，n為正整數）

圖2　

【思路突破】根據函數解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據點A的坐標求出正方形的邊長并得到變化規律，從而表示出第n個正方形的邊長，然后根據陰影部分的面積等于一個等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個直角三角形的面積，列等式求解并根據結果的規律解答即可.

解：∵函數y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四個正方形的邊長為8=23，第三個正方形的邊長為4=22，第二個正方形的邊長為2=21，第一個正方形的邊長為1=20，第n個正方形的邊長為2n-1，由圖可知，

Sn為第（2n-1）個正方形面積的一半，而第（2n-1）個正方形的邊長為22n-2，

【解后反思】本題考查了正方形的性質，三角形的面積，一次函數圖像上點的坐標特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關鍵，難點在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重，這類題要求根據題目中的圖形或者數字，分析歸納，直觀地發現共同特征或發展變化的趨勢，據此去估計規律或者其他相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡可能與現實情況相對應.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）