判斷說(shuō)理題：形外正多邊形

2016-11-19 02:04:45卜文靜

初中生世界 2016年31期

卜文靜

判斷說(shuō)理題：形外正多邊形

卜文靜

伴隨著新課標(biāo)全面進(jìn)入課堂，應(yīng)運(yùn)而生了一些形式新穎、富有趣味的考題.縱觀近幾年的中考試題，一類有關(guān)形外正多邊形的題目，像一道靚麗的風(fēng)景線映入眼簾，令人賞心悅目.

一、形外正三角形

例1如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD相交于點(diǎn)E，連接BC.

圖1　

圖2　

（1）求∠AEB的大小；

（2）△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度得到圖2（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，如等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角是60°，每一個(gè)外角是120°，各邊相等等.在求角的度數(shù)時(shí)，往往是根據(jù)三角形全等，將相等的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用三角形的內(nèi)角和或外角與內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行求解.

【略解】（1）如圖1，因?yàn)椤鱋CD、△OAB都是等邊三角形，所以O(shè)C=OD，∠COA=∠DOB= 120°，OA=OB，

∴△COA≌△DOB，∴∠1=∠2.

而∠BFE=∠AFO，故∠AEB=∠AOB=60°.

（2）解題過(guò)程與（1）類似，∠AEB=60°.

例2如圖3，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ.以下五個(gè)結(jié)論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；

④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的結(jié)論有________.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

【略解】類似例1，可知△BCE≌△ACD，所以①AD=BE，⑤∠AOB=60°成立；且∠CAD=∠CBE，而∠ACB=∠BCQ，BC=AC，所以△ACP≌△BCQ，即③AP=BQ成立；同樣，△DCP≌△ECQ，則CP=CQ，由于∠PCQ= 60°，所以△PCQ是等邊三角形，所以②PQ∥AE成立；④式不成立（DE≠Q(mào)E=DP）.應(yīng)填①②③⑤.

例3如圖4，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)______.

【分析】△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以BC=CD，∠DCE=∠E= 60°，即∠DBE=30°，△BDE是直角三角形，因此

圖3　

圖4　

二、形外正方形

例5如圖5，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是_______.

圖5　

【分析】解決梯形問(wèn)題常平移腰、平移對(duì)角線、延長(zhǎng)兩腰、作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為三角形或構(gòu)造梯形的中位線，由于∠ADC+∠BCD=90°，所以可利用平移腰將梯形轉(zhuǎn)化為三角形.

【略解】過(guò)B作BF∥AD交DC于點(diǎn)F，∠BFC=∠ADF，因?yàn)椤螦DC+∠BCD=90°，所以∠FBC是直角；又AB∥CD，所以四邊形ABFD是平行四邊形，DC=2AB，故AB= DF=FC，AD=BF，由勾股定理，得BF2+BC2= FC2，即AD2+BC2=AB2，故S2=S1+S3.

例6如圖6，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，A、B、N、E、F五點(diǎn)在同一直線上，則c=_______.（用含有a、b的代數(shù)式表示）