待定系數法在函數中的應用

徐志玲

待定系數法在函數中的應用

徐志玲

若得知所求結果具有某種確定的形式，則可設定一些尚待確定的系數（或參數），再根據已知條件，選用恰當的方法，來確定這些系數，這種解決問題的方法叫做待定系數法.待定系數法是數學中的基本方法之一，它滲透于初中數學教材的各個部分.

應用待定系數法解題通常有三種方法：比較系數法、特殊值法和消除待定系數法，其中以特殊值法應用最為廣泛，下面以兩道考題為例，輔導講解.

例1（2015·南京）某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等.如圖1中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元）、銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系.

（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義.

（2）求線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式.

（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【思路突破】（1）點D表示成本與售價相等；

（2）將點A、點B的坐標代入一次函數表達式；

（3）求出獲利的函數表達式，根據一次函數性質求解.

圖1　

解：（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義為：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價格相等，都為42元.

（2）設線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式為y1=k1x+b1，

∵AB過點A（0，60）和B（90，42），

∴y1與x之間的函數表達式為y1=-0.2x+ 60（0≤x≤90）.

（3）利用待定系數法可得y2與x之間的函數表達式為y2=-0.6x+120（0≤x≤130）.

設該產品產量為x時，獲得的利潤為W，W=x（y2-y1），注意x要分類討論：

①當0≤x≤90時，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120+0.2x-60）=-0.4（x-75）2+2250，

∴當x=75時，W值最大，最大值為2250；

②當90≤x≤130時，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120-42）=-0.6（x-65）2+2535，

∴當x=90時，W值最大，最大值為2160.

因此當該產品產量為75kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為2250元.

【解后反思】用待定系數法求一次函數解析式是中考考查重點，也是本題的解題關鍵，特別是第三問，要想求得最大利潤必須要先求出CD段的函數解析式，然后根據利潤=產量×（銷售價-生產成本）得出利潤的函數表達式，根據二次函數性質求出其最值.

（1）求點C的坐標.

（2）設二次函數圖像的頂點為D.

①若點D與點C關于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數的關系式；

②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數的關系式.

【思路突破】（1）由二次函數的解析式，可求其對稱軸為x=2，將x=2代入一次函數便可求點C的坐標.

（2）由點D與點C關于x軸對稱，可求點D的坐標及CD的長度；由△ACD的面積，可求A點的坐標從而求出函數解析式.

解：（1）∵y=ax2-4ax+c=a（x-2）2-4a+c，

∴二次函數圖像的對稱軸為直線x=2，

圖2　

解得m=0，∴A（0，0）.

圖3　

圖4　

解得：m=-2或m=6（舍去），

當a＞0時，則點D在點C下方，

當a＜0時，則點D在點C上方，如圖5，

圖5　

【解后反思】二次函數解析式有三種表達形式，即一般式、頂點式和交點式，先選定一種表達形式，再找到函數圖像所經過的點的坐標，然后代入求出解析式.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）