整體思維捷足先登

陳玲　王鋒

整體思維捷足先登

陳玲王鋒

所謂整體思維，就是把所要研究的對象，看成一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結構或形式結構的變形上，從整體上把握條件與結論之間的內在關系與本質內涵，選準解題的方向與策略，便可以避繁就簡、捷足先登.

1.分式的求值

例1已知x2-x-2=0，求分式的值.

【思路突破】觀察條件及給出的分式結構特點，我們可以發現均有相同的多項式x2-x，因此我們可以把x2-x看作一個整體代入求值式，便可獲得問題的答案.

解：由已知條件x2-x-2=0得x2-x=2，代

【點評】對于給出已知條件的求值問題，我們一定要仔細觀察條件與求值式的結構特征，找到它們之間的連接點，學會用整體思維的策略，適當變化條件與求值式結構，然后整體代入即可化繁為簡.

2.方程（組）的求解

【思路突破】觀察方程組①與方程組②中未知數的系數及方程右邊的常數項，它們是完全相同的，因此我們如果把方程組②中x+2，y-1分別視為一個整體看作“元”，這就表明兩個方程組是完全相同的方程組，從而發現他們的解是完全相同的.

解：令x+2=m，y-1=n，則方程組②可變

【點評】此類問題應關注方程組中未知數的系數，與用什么字母表示“元”無關.

例3（2015·珠海）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即2（2x+ 5y）+y=5，③

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1，

把y=-1代入①得x=4，

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程

（2）已知x，y滿足方程組

求x2+4y2的值.

【思路突破】（1）關鍵是將方程組中⑤式恒等變形成3（3x-2y）+2y=19，然后整體代入消元可得解.

解：（1）把3x-2y看成一個整體，將方程⑤恒等變形成含有3x-2y的等式，即方程⑤變形為：3（3x-2y）+2y=19⑥，這樣就可以把④整體代入⑥得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入④得：x=3，則方程組的解為

（2）原方程可化為

⑧×2+⑦得：7（x2+4y2）=119，所以x2+4y2= 17.

【點評】本題首先提供一個利用“整體代入”解方程組的案例，讓讀者閱讀理解掌握解題方法后，模仿其方法去處理新的問題.從解題過程可以看出利用“整體代入”思想，不但可以快速求出方程組的解，而且還可以起到“降次”作用，達到快速消元求值的效果.

3.確定字母的取值范圍

【思路突破】常規的思路是先解方程組，用k表示x、y，然后再代入不等式求解.這樣做你會發現非常麻煩，但如果我們著眼于“x-y”這個整體，只要將方程組中兩個方程“整體相減”便可用k表示出x-y，進而達到目的.

解：將方程組中②-①，得x-y=1-2k，又-1

【點評】解此類問題首先要具備敏銳的觀察能力，即善于發現方程組與關于未知數的不等式之間內在的數量關系，以便確定兩個方程組是相減還是相加，或者是將方程適當變形后再加減.

（作者單位：江蘇省豐縣單樓初級中學）