對分類討論思想的思考

方建文

[摘 要] 分類討論思想是初中數學的重要思想方法之一，它貫穿著整個初中教學. 特別在解決等腰三角形問題時，經常要用到分類討論的解題方法. 本文結合例題加以分析，希望對以后的教學或學習能有所幫助.

[關鍵詞] 等腰三角形問題；分類討論

每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用的范圍. 在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，需分成若干類，轉化成若干個小問題來解決. 這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想. 分類討論思想，對學生的數學學習習慣與興趣培養有很大的積極作用，使得學生能夠具備良好的思維習慣，這將對學生以后的學習或工作產生深遠的影響. 那根據問題的條件如何知道結論不是唯一的，而需分類討論？本人以在教學中常碰到的“等腰三角形中的問題”為例，談談在什么情況下會考慮用分類討論思想，以及在教學中應逐步參透分類討論思想.

此題實際上匯集了文字陷阱和圖形陷阱，既有邊OA的不確定因素，又有圖形的局限性，當OA為腰時，又有兩種情況. 此題也可以從角的角度來分類：

∠OAP為頂角（如圖5）；∠AOP為頂角（如圖6）；∠APO為頂角（如圖7）. 事實上，這兩種分類標準是一致的，確定了頂角后，腰、底也就確定了.

此題的變式：在平面直角坐標系中，點A（1，2），點P為x軸上一動點，求使△AOP是等腰三角形的點P的坐標. 點A的坐標的變動，不影響分類，不影響當OA為腰時，點P的坐標的求法，卻大大提高了當OA為底時，求點P坐標的難度. 由于原題點A（1，1）的特殊性，學生基本上畫出圖7后，就能直觀地寫出點P（1，0）；而變成點A（1，2）后，畫出圖8， 已不能直接寫出點P的坐標. 教學中，引導學生過點A作AD⊥OP（如圖9） ，通過構造直角三角形來求解.

同時，這兩類題也是大部分動點、動態三角形成為等腰三角形題型的影子，是解決一些有關等腰三角形綜合題的基礎. 在復雜的圖形中，教師應引導學生善于捕捉并提取，化復雜為簡單. 運用分類討論其實就是把一個復雜問題分解成一個個小問題來解決，體現了化整為零和積零化整的整體思想與歸類整理的方法.

總之，分類討論思想方法貫穿在整個初中數學的知識體系中，學好、用好分類討論思想方法并結合其他數學思想方法，能有效地解決等腰三角形的問題及其他一系列復雜的數學問題. 應用分類討論思想方法意識的增強，也有利于學生更透徹地理解所學知識，提高分析問題、解決問題的能力.