對(duì)分類討論思想的思考

方建文

[摘 要] 分類討論思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，它貫穿著整個(gè)初中教學(xué). 特別在解決等腰三角形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用到分類討論的解題方法. 本文結(jié)合例題加以分析，希望對(duì)以后的教學(xué)或?qū)W習(xí)能有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 等腰三角形問(wèn)題；分類討論

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用的范圍. 在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，需分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決. 這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想. 分類討論思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣與興趣培養(yǎng)有很大的積極作用，使得學(xué)生能夠具備良好的思維習(xí)慣，這將對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)或工作產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響. 那根據(jù)問(wèn)題的條件如何知道結(jié)論不是唯一的，而需分類討論？本人以在教學(xué)中常碰到的“等腰三角形中的問(wèn)題”為例，談?wù)勗谑裁辞闆r下會(huì)考慮用分類討論思想，以及在教學(xué)中應(yīng)逐步參透分類討論思想.

此題實(shí)際上匯集了文字陷阱和圖形陷阱，既有邊OA的不確定因素，又有圖形的局限性，當(dāng)OA為腰時(shí)，又有兩種情況. 此題也可以從角的角度來(lái)分類：

∠OAP為頂角（如圖5）；∠AOP為頂角（如圖6）；∠APO為頂角（如圖7）. 事實(shí)上，這兩種分類標(biāo)準(zhǔn)是一致的，確定了頂角后，腰、底也就確定了.

此題的變式：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求使△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo). 點(diǎn)A的坐標(biāo)的變動(dòng)，不影響分類，不影響當(dāng)OA為腰時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)的求法，卻大大提高了當(dāng)OA為底時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)的難度. 由于原題點(diǎn)A（1，1）的特殊性，學(xué)生基本上畫出圖7后，就能直觀地寫出點(diǎn)P（1，0）；而變成點(diǎn)A（1，2）后，畫出圖8， 已不能直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OP（如圖9） ，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.

同時(shí)，這兩類題也是大部分動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)態(tài)三角形成為等腰三角形題型的影子，是解決一些有關(guān)等腰三角形綜合題的基礎(chǔ). 在復(fù)雜的圖形中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于捕捉并提取，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單. 運(yùn)用分類討論其實(shí)就是把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成一個(gè)個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，體現(xiàn)了化整為零和積零化整的整體思想與歸類整理的方法.

總之，分類討論思想方法貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，學(xué)好、用好分類討論思想方法并結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法，能有效地解決等腰三角形的問(wèn)題及其他一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 應(yīng)用分類討論思想方法意識(shí)的增強(qiáng)，也有利于學(xué)生更透徹地理解所學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.