芻議二次函數在蘇科版教材中的新思考

劉光建

[摘 要] 二次函數作為初中數學的重要內容，對函數概念的構建有著綜合性作用. 傳統基于一次函數而得出二次函數的思路，符合講授法教學的思路，但忽視了學生的主動建構性. 從工具性與系統性的角度考慮，可以重新設計二次函數的教學，即通過范例的分析與綜合，讓學生自主構建出函數是描述量的關系的重要認識；通過平移得出二次函數圖像，可以讓學生感受到函數知識的系統性. 重視了工具性與系統性，就重視了學生的主動建構性，從而促進了本知識的有效教學.

[關鍵詞] 初中數學；二次函數；工具性；系統性

二次函數在初中數學中的地位較為重要，在蘇科版教材的編排中，其處于九年級下冊第五章，用一般的教學語言來描述，其是沖刺性的知識，是綜合性強的知識.

通常情況下，二次函數的教學以一次函數為基礎，通過回憶一次函數的相關知識，引導學生在類比中建立二次函數的知識. 這樣的思路符合經驗，更符合傳統的講授法教學的需要. 但從學生建構的角度來看，由于對學生主動建構的重視不夠，因而在學生的實際學習過程中，會出現不那么得心應手的情形，因此這段知識出現學困生的現象也比較常見.

反思這些不足，筆者以為二次函數的教學需要引入新的理念，需要設計新的過程，需要對學生的學習進行新的評價.

二次函數概念的新理解

二次函數首先是作為一個概念而存在，其次是作為一個數學概念而存在，最后是作為一個教學內容而存在. 眾所周知，函數是描述數的變化關系的數學工具，這種變化關系往往反映著實際問題中的變量關系，函數的次數往往與具體的量的關系有關. 從數學概念的角度來看，“二次”給“函數”界定了次數關系，因此對二次函數概念的理解與對二次函數教學的理解，應當以“函數”為核心概念，以“二次”為輔助概念；而在實際教學的時候，又需要通過對“二次”的強調，來構建二次函數的概念. 因為在此之前，學生已經在正比例函數、反比例函數、一次函數的學習中，形成了顯性或隱性的“函數”概念，因此“二次”才是需要強調的教學內容.

以上是從概念理解的角度分析二次函數的，作為教師還需要從教學的角度分析二次函數. 教學是一個系統工程，是在師生互動、生生互動的過程中引導學生建構數學知識的過程，對于二次函數的教學而言，考慮到學生概念建構的基礎性，筆者以為需要從工具性、系統性兩個角度來認識該概念的建構. 對于工具性，是指要讓學生認識到二次函數概念學習背后的“數、量”關系，要讓學生認識到只有二次函數才能描述特定的關系. 只有學生建立了這樣的思路，那在呈現相關例子的時候，才有可能真正激活學生從數與量的角度進行分析的思維（下面會詳述）.

對于系統性，筆者的意思是指二次函數的教學，必須明確概念、定義、解析式、表格、圖像、性質等角度分類闡述，以幫助學生建立相對立體的知識體系. 在此需要強調的是，這一知識體系并不特別指向二次函數，只不過是因為在初中數學學習中，二次函數有一種提綱挈領的地位，能夠綜合前面所學的相關函數，能夠為后續的函數知識學習奠定基礎. 同時，在二次函數的學習中，會經歷典型的從實際問題抽象出數學模型，用數學模型解決實際問題的過程. 從這兩個角度來講，二次函數的教學都具有知識結點的作用，因此有著研究的價值. 有研究表明，初中階段的二次函數教學可以深化學生此前形成的關于一次函數（包括正比例函數）和反比例函數的認識. 從心理學的角度來看，二次函數的學習可以讓學生以函數這個宏觀概念，將初中階段的三大基本函數整合到一起，從而形成一個大的知識組塊，進而促進學生的記憶與理解.

從工具性與系統性兩個角度建立了對二次函數的理解，那在實際教學的時候就有了“綱”. 俗話說，綱舉目張，一旦教學思路明確，那教學設計就要據此而行.

二次函數教學的新設計

基于以上理解，筆者在教學設計時注重兩點：

一是強調數量關系，體現工具性. 在蘇教版教材中，教材在復習一次函數的基礎上通過三個實例引入二次函數. 這三個實例分別是：水滴激起的波紋不斷向外擴展，所形成的圓面積S與半徑r之間的函數關系；用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大；一面長與寬之比為2 ∶ 1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費為45元. 那么總費用為多少元.

這三個問題的呈現方式是一樣的，都是將已知條件與未知條件明確出來，以讓學生在具體的數量關系的尋找中發現二次聯系的存在. 可惜的是，對于初中階段的學生而言，只有第一個例子能夠順利解決，而第二和第三個例子中涉及的量的關系，在初中階段之前并沒有涉及，因此多出來的這個攔路虎，某種程度上分散了學生的學習注意力. 而為了強調這種數量關系，體現出函數在數量關系研究中體現出來的工具性，筆者以為可以回避以上第二、第三個例子，另尋存在的二次關系. 其實為了體現這種工具性，可以讓學生仿照第一個例子去尋找第二個例子，而教學實踐表明，學生尋找的例子一定會與第一個例子非常近似但又不完全相同，這無形當中符合數學概念構建所需要的變式；而直接加工學生所舉的例子，往往更容易激發學生的學習積極性，從而讓不同二次關系所表現出來的共同點可以更為明確. 當學生發現了數量的二次關系時，實際上也就是二次函數概念形成之時.

更重要的是，當學生發現三個不同的二次關系可以用同一種方式即二次函數的解析式來表達時，這個時候在學生的思維中會產生一種工具性認同感，用學生的話說，“用一個式子，可以描述不同情形下的二次關系，這就是二次函數的本質”. 盡管這樣的描述還有些樸素，但能夠從學生的嘴里說出來，就已經充分體現出工具性在學生思維中形成了.

二是強調數學方法，體現系統性. 系統性主要體現在數學方法的運用中，只有讓學生發現新的知識（二次函數）與舊的知識（一次函數和反比例函數）的學習具有相同的方法，這種系統的認識才能真正形成. 筆者在教學中，采用類比的方法實施教學，取得了較好的效果.

以二次函數的圖像教學為例，一般二次函數的圖像當然是可作的，讓學生用描點法作圖即可. 應當說這一教學思路是正確的，但卻也是相對孤獨的. 筆者設計用描點法作圖為第一步，此時如果不出意外，學生會感覺到一絲厭煩，因為思路機械且所描的點不少. 而在筆者的教學中，這樣的厭煩心理恰恰是可以利用的學習因素. 因為教育中有“不憤不啟，不悱不發”之說，厭煩心理正是憤與悱的體現. 在學生有了這一心理之后，筆者將這樣的心理點出來，以獲得所有學生的認同. 然后在此基礎之上設計第二步教學：先讓學生作出y=ax2的圖像，有了前面的復雜描點，此時的描點倒變得非常簡單，學生很快就能作出來；然后再引導學生思考“能不能由y=ax2的圖像得出y=ax2+bx+c的圖像？”這是一個具有一定挑戰性的問題，但由于有前面一次函數學習的經驗（系統性的體現），學生自然會想到平移，顯然將其上、下平移，即可以讓函數中多出常量c. 那么，又是如何獲得一次項的呢？有學生自然會想到左、右平移，等到在y=ax2的圖像（此時借助幾何畫板）上進行左、右平移時，學生發現可以獲得y=a（x+m）2的圖像. 自然，如果同時左、右平移及上、下平移，那么就可以獲得y=a（x+h）2+k的圖像.

這樣的變換看起來復雜，但在新授課的過程中如果能夠花時間強調，那學生所建立的關于二次函數的圖像就是立體的，就是有根基的，從而完成了新舊知識的聯系，實現了知識系統的構建.

二次函數教學的新評價

評價在教學中的作用實際上非常重要，但往往又會為教師所忽視. 課堂教學中教師隨口的一句評價，往往對學生的學習有著很大的影響. 此處，筆者關注的是評價對學生構建數學知識的影響.

事實證明，二次函數知識的構建中，要想讓學生真正認識到函數的工具性，要想讓學生在二次函數學習中真正生成系統性，教師在學生學習過程中的介入式評價非常重要. 比如說，在學生習得了二次函數的解析式之后，教師就應當如此評價：同學們很好地總結出了上述三個例子的共性，并且能夠像學習一次函數一樣尋找到了二次函數的解析式，這說明同學們有很好的分析與綜合能力. 這樣的評價直接指向分析與綜合這樣的思維方法，可以對數學方法的生成產生一種潛移默化的策動作用；又如在平移得到二次函數圖像的過程中，三次平移（上下、左右、上下且左右）中每一次平移所得到的結果，都應當給予積極評價，這樣才能讓學生能夠在長時間中保持注意力，才能真正促進二次函數圖像（包括后面的性質等）系統生成.