高等數學課程研究型教學案例的建構與實踐

汪雄良 王春玲

摘 要 結合大學公共基礎課高等數學，建構若干具有實際背景的、適合于教師實施課堂教學或學生自主實驗的研究型教學案例，讓學生在知識的發現過程中抓住其本質，加深對概念的理解和掌握，同時培養學生研究問題的興趣和能力。

關鍵詞 研究式教學；高等數學；自主實驗

中圖分類號：G642.3 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2016）04-0107-03

Construction and Practice of Research-oriented Teaching Cases in Advanced Mathematics Course//WANG Xiongliang， WANG Chunling

Abstract Aimed at the public college course advanced mathematics， a few cases which derived from the practical application background can be applied in research-oriented teaching. It helps the student grasp the essence and understand the profound idea with efficiency. It can help the student improve the interest and ability of research at the same time.

Key words research-oriented teaching； advanced mathematics； in-dependent experiment

1 前言

傳統教學模式是把學生對課程學習看作一個被動的接受過程，在課堂上只是將一大堆的知識教條式地灌給學生，忽視了學生對課程學習的主動性和創造性，忽視了教學對學生創新意識與創新能力的培養作用，直接損害了學生創新意識與能力的形成。因此，好的教學模式應當能夠啟迪學生的興趣和智慧，開發悟性，挖掘潛能，激發學生的創造力。研究型教學模式正是為了實現上述目標而興起的一種新的教學模式[1-3]。

然而，研究型教學應用于高等數學課程的教學實際中，教師經常會受一些問題困擾。

1）典型的案例不好找，經典的微積分理論非常完善，典型的概念都有其物理或幾何起源，很難再從中挖掘出有啟發意義的問題或案例。

2）高等數學課程具有內容多、課時緊的特點，正常的教學計劃都難以充裕地完成，怎么還有時間開展研究型教學？如果開展的話，會不會對正常教學產生負面影響？

3）高等數學是大一新生必學的重要基礎課，他們剛進大學，仍帶著中學數學學習方法的烙印，完全放任學生自己去探索而不引導，可能會適得其反。

4）高等數學課程大都是大班上課，學生人數多，接受知識的程度也參差不齊，怎樣更好地組織起研究型教學，使之不流于形式？

針對問題2，筆者認為，研究型教學是一種手段、一種理念，倡導研究型教學并不是意味著高等數學中的每一個概念都要用研究型教學來實施。以美國高校為例，雖然大多數的教師在課堂教學中主要還是采用講授法進行教學，但在整個教學過程中經常滲透著研究型教學的方法，如積極引導學生參與知識發現過程，引導學生積極主動地參與相關的科研活動等。因此，在高等數學教學過程中的某些部分引進研究型教學，非但不會影響正常教學進度，相反還會對概念的理解帶來幫助，大有裨益。以上問題3和4涉及研究型教學的組織和實施，不做探討。本文重點討論研究型教學案例的建構問題。

針對工科數學類課程在學科體系中的基礎性地位以及其理論概念抽象、數學公式繁難的特點，從提高學生自主學習興趣、增強創新思維的需求出發，文獻[4]提出主線貫穿式、溫故知新式和懸念導入式三種研究型教學模式。借鑒這三種模式，本文給出幾個具有實際背景的、適合于教師實施課堂教學或學生自主實驗的研究型教學案例，讓學生在分析過程中抓住共性，不斷升華對自然規律的本質領悟，學到解決問題的智慧。

2 三個案例

案例1：定積分的概念（采用主線貫穿式研究型教學） 目前的大多數高等數學教材都是通過定積分的幾何意義即由如何計算曲邊梯形面積來引出定積分的概念。求其面積有分割、近似、求和與取極限四個步驟，其中包含了兩個任意性，即對區間的分割和區間內的點ξk的選取都是任意的。對這兩個任意性，初學者一般較難理解，從數學實驗的角度來分析驗證這兩個任意性，幫助學生加深理解。

【例1】S是由曲線y=x2，直線x=0，x=1和y=0所圍成的曲邊梯形，試估算S的面積。

【解】從等分不任意取、任意分不任意取和任意分任意取三種方式來估算。

1）等分不任意取。對[0，1]區間進行n等分。在每個子區間上，分別用左端點和右端點的函數值作為對應的小矩形的高，計算左和與右和。

2）任意分不任意取。對[0，1]區間進行任意劃分。利用MATLAB中的rand函數可得到0—1之間的n-1個隨機數。對此n-1個隨機數進行排序，即得到[0，1]區間的n-1隨機分點。在每個子區間上，與1）類似，同樣分別用左端點和右端點的函數值作為對應的小矩形的高，計算左和與右和。

（3） 任意分任意取。在[0，1]區間的任意分點已經確定下來的條件下，利用MATLAB中的rand函數得到0—1之間的一個隨機數ξ，再將此隨機數ξ通過線性變換，轉化成小區間[xk-1，xk]上的一個隨機數，它就是所要取的ξk，即取ξk=（xk-xk-1）ξ+xk-1）。以f（ξk）為高，底邊長為Δxk的小矩形的面積是f（ξk）Δxk。每一個小區間都這樣處理，最后把n個小矩形的面積相加，即可得到曲邊梯形面積的近似值。

從實驗結果可見，三種方式下隨著n的增大，面積的近似值都越來越接近面積的真實值的。它驗證了曲邊梯形的面積與區間的分割無關（可任意分），與小區間的點ξk的選取也無關（可任意?。?。從而從數學實驗的角度驗證了定積分概念的正確性，加深了學生對積分思想和定積分概念的本質的認識。

案例2：重積分的概念（采用溫故知新式研究型教學） 引導學生回顧已學過的定積分的概念，其本質核心即為微元法。將其思想推廣到計算非均勻的平面薄片的質量。它是分布在平面區域上滿足可加性的量。對平面的區域進行劃分，分成小的平面區域，再對小的平面薄片的質量進行近似，即取其中任意點的密度作為小的平面薄片的密度，乘以小的平面薄片面積即得平面薄片微元的質量，最后“求和取極限”即得總的平面薄片的質量。由此，即導出了二重積分的定義。

類似地把平面區域推廣到空間區域，用微元法計算非均勻空間物體的質量，即可導出三重積分的定義。因此，在多元積分學概念教學中，可實施溫故知新式教學模式，充分利用前面已學知識作為基礎，通過回顧和總結，啟發學生思考，重點強調兩者研究思路的相似性，使學生迅速抓住主要矛盾，水到渠成地掌握新知識。溫故知新式教學模式還在一定程度上訓練了學生普遍聯系和重點突出的思維方式。

在學習了重積分的概念后，可布置以下思考題，讓學生組成學習小組，在課堂上組織對問題進行討論。

【例2】針對流行病的傳播問題進行研究。假設患病者將疾病傳染給健康者的概率是兩者之間距離的函數?，F考慮一個半徑為10 km的圓形城市（所占平面區域用D表示），假設城中的人口和患病者都是均勻分布的（每1 km2有k個患者），又設城中某點M處的健康者被位于點P處的患者傳染的概率為：

其中，d（P，M）表示點P到點M的距離。假設位于點M處的健康者傳染上該病的概率（稱為被感染率，記作E（M））等于城市中所有患者將疾病傳染給他的概率之和。試用二重積分表示E（M）的計算公式。

【分析】任取面積元素dσ，則其中共有kdσ個患者，這kdσ個患者對一個位于M點處的居民的傳染概率為f（P）kdσ，故：

案例3：曲率公式（采用懸念導入式研究型教學） 在課堂教學中首先拋出問題：火車在實際運行中通常要過彎道，那么為確?；疖囋趶澋郎闲旭偘踩瑥澋缿撛趺丛O計呢？火車在彎道上要安全行駛，其所受到的離心力必須平穩變化，因此要求從直道進入彎道時曲率必須是連續變化的。為此需要設計一段曲線軌道，將直線軌道與圓弧軌道連接起來，稱此連接軌道曲線為緩和曲線，工程上通常選用三次多項式曲線作為緩和曲線。

【例3】如圖1所示，CO為直線軌道，AB為圓弧軌道，OA為緩和曲線。已知圓弧軌道半徑為R（km），A點的橫坐標為l（km）。設緩和曲線方程為y=ax3+bx2+cx+d，試給出系數a，b，c，d所滿足的關系式。

拋出以上問題后，學生的興趣被調動起來了，接下來引發學生思考如何刻畫一條曲線的彎曲程度與哪些因素相關？進一步就可以介紹弧微分，給出平均曲率的定義，最后通過對平均曲率求極限，從而得到曲率的定義以及曲率的計算公式。在完成以上教學以后再回到上述引例，通過實例來激發學生學習的興趣并鞏固所學知識。

【分析】由于y=ax3+bx2+cx+d，y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，依題意，緩和曲線y=y（x）在原點O處應滿足y（0）=0，y′（0）=0，y″（0）=0，從而可得系數b=c=d=0。

又緩和曲線在點A（l，al3）處的曲率，而y′（l）=3al2，

y″（l）=6al，從而在A（l，al3）處：

因此，系數a滿足關系式：

在做完以上例題后，還可以啟發學生思考：以上緩和曲線能否選用二次多項式？是否需要選用四次以上的多項式？由此說明了緩和曲線選用以上三次多項式的合理性（既簡潔，又符合條件）。

3 結語

國內外高水平研究型大學都在探索研究型教學的理論、方式方法以及探索實踐，而且各具特色。構建更多更具實際背景的教學案例，還有待于更進一步的探索和實踐。

參考文獻

[1]白少元，解慶林，游少鴻.基于研究型課程理念的《環境工程概論》課程教學研究與實踐[J].教育教學論壇，

2015（12）.

[2]嚴穎，姚宇新，王尕平，等.適應創新型人才培養的基礎力學研究型教學實踐探索[J].教育教學論壇，2015（9）.

[3]馮曉麗.美國高校微電子類課程模式及其借鑒[J].高等理科教育，2015（1）.

[4]馮靜，潘正強，孫權，等.工科數學類課程三種研究型教學模式探索[J].教育教學論壇，2015（4）.