摸球到底“摸”出了什么

蔡福山

一直以來，“統計與概率”的教學爭議不斷，筆者認為，最為根本的原因在于教師本體性知識的缺失，而導致對所教內容的知識本質把握不當，因而導致爭議的發生。

某教師在教學北師大版五上“誰先走”時，設計了一個數學活動：學生從“3黃3白”的箱子里任意摸一個球（球除顏色外，其他完全相同），摸完放回搖勻后再摸，讓學生猜摸出的球可能是什么顏色的。學生回答：“可能摸到白球，也可能摸到黃球。”為了證明結論，教師請學生動手摸球，結果一連六位學生摸出白球。教師實在沒信心摸下去了，只好無奈地說：“連續摸了6個白球，這太不正常了！這組數據不準確，不算，我們重新來過！”教學再次返回摸球環節，只見熱鬧，不見實效。

“統計與概率”之所以難學難教，是因為該領域的一些問題無法用生活經驗或已有的知識經驗來解釋。如果我們缺少相關的知識儲備，缺乏對相關知識的深刻理解，便不能從源頭上解決問題。回歸學科本真，追問教學本質，用理性視角去追尋“統計與概率”基本教學邏輯，是勝任當今“統計與概率”教學的應有姿態。

追問一：摸球到底摸出了什么？

上述案例中，教師設計摸球活動的主旨何在？難道僅僅只是為了驗證“既能摸出白球，又能摸出黃球嗎”？通過摸球活動要傳遞什么樣的信息給學生？

現行“統計與概率”與傳統大綱中的“統計初步”在立意上有著根本變化。史寧中教授指出：“統計教育價值的核心在于逐步養成尊重事實、通過數據來分析問題的習慣，培養理解和把握隨機現象的能力。”史教授從數學的角度指出“統計與概率”的學習意義。概率學家陳希孺也曾說過：“習慣于從統計規律看問題的人，在思想上不拘執一端，他既認識到事物從總的方面看有一定的規律，也承認例外。”陳先生從哲學的角度指出“統計與概率”的學習意義。

可以看出，“統計與概率”教學的主要價值在于培養學生從不確定的角度來觀察世界，不能只是將它當成一個僵硬的知識點來傳授，也不能只是當成一種技能來習得，它更多的是一種觀念的浸潤與思想的熏陶，感受隨機思想，體驗不確定思維，進而認識數學世界的美妙與神奇。

許多教師習慣用確定性思維去思考問題，善于駕馭以確定性為特征的數學內容，而忽視對以模糊性為特征的數學思想方法的關注，反映在對“統計與概率”的理解上，就是忽視數據分析觀念的培養。隨著大數據時代的到來，人們的思維方式產生了巨大的變化，數據與人的關系變得密不可分，數據分析觀念已經成為每個公民不可或缺的基本素養。

怎么理解數據分析觀念？數據分析觀念可以分解成三個詞來理解，從后往前看，一是觀念。觀念與意識經常不分家，數據觀念也就是數據意識。強調要有數據意識，要用數據說話，知道數據是富含信息的，數據是有用的，數據可以為人服務的。二是分析。數據可以用來做什么？分析，如何分析？分析時要認識到什么？《課程標準》指出：“通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律”。分析數據時要引導學生體會隨機性，從而對數據產生一個正確的認識，不能唯眼前的數據是從，還要學會透過數據看規律，讓數據“會說話”。三是數據。要用數據說話，要分析數據，數據怎么來？不能憑空捏造。數據需要收集，需要整理，需要用一定的方式表示。因而要讓學生在經歷數據的收集、整理、表示的過程中去學習。

上述案例中，由于受確定性思維的影響，師生在活動中經常會出現一種強烈的心理期待。比如，從“3白3黃”袋子里摸球，連續5次摸到白球后，絕大部分學生認為接下去一定摸到黃球。其實，學生“摸”的不應僅僅是球，伴隨摸球的應該是一種思維的感悟，即不確定的思維方式和辯證思維的感悟，應該是一種觀念的體驗，亦即數據分析觀念和隨機觀念的體驗。這才是“摸球活動”的核心。

追問二：摸球之中隱含著什么？

上述案例中，“摸球問題”是一個古典概率模型，古典概率模型具有下面特征：實驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，就如有6個球，每次摸球必然要摸到這6個球中的一個，結果是有限個的；每個基本事件出現的可能性相等，上述案例中，球除顏色外，其他特征完全相同，摸完放回搖勻后再摸，這樣，保證是在袋子里隨機摸球，摸到每個球的可能性相等，都是1/6。古典概率是這樣定義的：如果用N表示所有可能結果的個數，用M表示事件A發生的可能結果的個數，那么定義事件A發生的概率為P（A）=M/N。

連續6次摸到白球，這是一個小概率事件，可能性為6個1/2相乘的積，即等于1/64（約等于0？郾016）。小概率事件也是完全可能發生的。教師應引導學生克服在概率上的認知錯覺。學生容易產生誤解，即認為樣本的抽樣，必須能反應總體的分配情形，如此才符合隨機化的過程。很多學生包括一些教師，都認為：“白白黃白黃黃”的順序比“白白白白白黃”更易出現，因為這樣才能顯示白球與黃球摸出的次數各占一半。

既然摸出黃球的概率為1/2，為什么連摸了6次卻都只是白球？這正體現了摸球這種隨機事件的隨機性。理論上講，摸出黃球或白球的概率都是1/2，而實際動手摸，并非表現為“每次必需如此”，理論概率與實驗概率永遠存在差異。理論概率指理想化的概率，可通過計算得出的理論值，如古典概率。實驗概率指即時性的頻率值，即所求事件發生的次數與實驗總次數的比，用頻率值來估計概率。如拋硬幣，正面朝上的理論值是1/2，實際拋100次，很難剛好50次正面朝上，假如是43次，那么它實際發生的概率就是0？郾43。只有在大數定律的支持下，實驗概率才趨向理論概率。

什么是大數定律？簡單地說，大數定律就是：實驗次數足夠多時，事件發生的頻率（出現的次數/總次數）接近于該事件發生的概率。通俗的表達是：一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。“足夠的數據”中的“足夠”，應該到什么程度？要多到足以讓規律顯現出來。如擲色子，質地均勻的色子，每個點數朝上的可能性都相等，都是1/6，這是理論上的概率。實際動手拋會怎么樣呢？要拋多少次才能看到這個規律呢？對此，筆者也曾做過相關試驗：拋到500次、1000次時還看不出規律，要拋到1300次以后，規律才呈現出來，拋到1700次以后，點數“1”朝上的頻率值才會穩定在1/6上下，500次在大數定律中還是個小數。上述案例中，摸球活動只做了6次，僅憑6次就要“發現”其中的規律顯然遠遠不夠。所以，在課堂上教師需經常組織學生經歷“小組試驗—全班匯總—分析數據—得出結論”的過程，目的在于讓全班的匯總數據盡量大，以期達到“足夠”的程度。有時候還可以在學生完成一定次數的實驗后，借助計算機模擬繼續實驗，在較短的時間內收集到足夠的數據。

追問三：摸球活動要做到什么？

類似這種與我們的心理期望不一致的小概率事件，有時會出現在我們的課堂上，此時應怎么引導呢？

首先，要正確認識學生的“前理解”。研究表明，處在具體思維階段的學生，已能理解事件的必然性和可能性，但他們缺乏系統的思維，沒有足夠能力從概率實驗中抽象出概率的數學模式。同時，統計與概率研究的對象、方法、結果在某種程度上都具有一定的不確定性，學生一時適應不了，有時還會產生迷惑不解和理解上的偏差。再者，在正式學習“統計與概率”前，學生也不是一張白紙，他們在生活中也遇到過隨機事件，積累了一些關于概率的體驗和想法。大量教學實踐也表明，學生在學習概率的各個階段都會存在一定的認知偏差，這種認知偏差經常以一種直覺的方式悄無聲息地影響著學生的概率認知。小概率事件，更是學生認識與理解的難點，即使經過系統的學習，這種影響仍然存在。

其次，要抓住難得的機遇。小概率事件是一個寶貴的契機，是一個很好的體驗數據分析觀念的機會，也是一個幫助學生克服主觀概率帶來偏差的機會，克服關于概率的錯誤直覺的機會。教師可以采用追問的策略：“一直摸下去，會是怎樣的情況？”“假如再做一次實驗，還一定會是這樣嗎？”也可以采用實踐的策略，當場摸球，或課后繼續摸球。教師應讓學生明白，只要盒子里有黃球，不停地摸下去，是一定能摸到黃球的，任何一次摸球，要么摸到白球，要么摸到黃球，感悟事件發生的必然性，感悟實驗的偶然性（也許實驗2次，摸到黃球的可能性正好是1/2，也可能是0或1）。還有，前一次摸球的結果并不會對后一次產生影響，摸球的結果和人的心理期望沒有任何關系，因此不管前幾次摸球的結果如何，不會影響下一次摸球的結果，在下一次摸球前，依舊無法準確判斷摸出的結果，感悟每一次實驗的獨立性等。因此，摸球活動中要做到由操作到思考、由量變到質變的感悟。

教師有了足夠的知識儲備，才能游刃有余地在兒童的經驗世界和學科的理性世界之間自由穿梭，“統計與概率”才能真正成為“兒童的數學”。當然，除了回歸教學技術層面，重視研究怎么教的問題，還要加大對教育價值的追問，進行立體透視、整體思考。因為任何技術層面的問題最終都應回歸思想層面才能真正得以解決，你的教育思想，你對數學的認識和理解，你對數學教學的認識和理解等，才能真正決定你今后專業發展的高度、寬度和廣度！

（責任編輯：王彬）