例談把思辨貫穿數學教學過程

李燕高

數學上的思辨能力主要是指思考辨析能力。這種思考是多角度、多層次、發散性的思考，而辨析主要是對不同的解題思想和解題方法進行對比分析，從而辨別出其優劣所在。從深層意義上講，思辨是指我們要善于在解題后進行反思；要學會發現解題中的錯誤和錯誤的根源；要善于尋找不同的解題方法以培養發散思維能力；更要善于從題目所給的信息中或解題的過程中，以及從自己得到的結論里進行引申推廣，以便能開拓自己的思維，達到觸類旁通的目的。下面筆者以教學實例來論述一下這個問題。

一、從一個問題的正反兩方面進行思辨

例1：已知圓柱的側面展開圖是一個長為4πcm，寬為πcm的矩形，求此圓柱的體積。

閱卷后筆者發現，有不少學生都出現了同樣的錯誤。現簡單摘錄如下：設此圓柱底面圓的半徑是x，由已知得2πx=4π，x=2。所以圓柱的體積為V=πx²·π=4π²。

對此，筆者在講評時沒有先指出錯誤，而是先提出了一個問題：給定一個圓柱，如果沿著它的任意一條母線剪開，它的側面展開圖是不同的矩形嗎？反之，給定一個矩形，能把它卷成怎樣的圓柱形呢？學生在辨別了正反兩種操作過程后，得到截然不同的結果，自然就明白了錯誤的原因。

二、從一題多解方面進行思辨

（A）4ab （B）2（a²+b²） （C）（a+b）²（D）（a-b）²

統計后，筆者發現選（A）、（B）的都有不少學生。于是，筆者各請一個代表來講解他們的做法，現大致展示如下。

所以，所求的最小值為2（a²+b²）。而選項中剛好有這個結果，故選（B）。

解法二：……

解法三：……

給出解法三后，筆者沒有接著下結論，而是先讓學生尋找選項（A）、（B）、（C）中三個式子的關系。結果有學生回答：由基本不等式及變形可知：2（a²+b²）≥（a+b）²≥4ab。三個式子的大小關系便一目了然了。

筆者先肯定了他的結果，接著問他：這兩個條件有沒有自相矛盾的地方？這個學生回答：如果兩個條件都成立，就一定可以推出“a=b”，而這個是已知中沒有的，這就是思辨的關鍵所在了……

三、從解題過程出現錯誤方面進行思辨

筆者班上不少學生也是這樣做的。顯然第（1）題的解法是沒有問題的，而問題出在第（2）題的解法中……

于是，筆者提問學生：為什么會這樣呢？學生很疑惑。接著筆者啟發學生……

四、從題目本身有問題方面進行思辨

到這里矛盾就出現了，學生們也露出了恍然大悟的神情。就在學生們為之喜悅時，筆者話鋒一轉，提出了如何修改的問題。筆者讓學生思考，然后請大家提出方案，其思辨的效果自然就出來了。

可見，在數學教學實踐中貫穿思辨能力的培養，極大地提升了學生思維的批判性和深刻性，激發了學生的學習興趣，使學生在參與知識建構的同時善于發現和提出問題——能夠在別人不能發現問題的地方發現問題，能夠突破思維的慣性和定勢，在被人熟知、極為平常的現象中發現新問題。

（編輯 劉澤剛）