大學物理中矢量積分的計算方法

陳春彩，余小剛，楊 芳

（閩南理工學院基礎部，福建石獅362700）

大學物理中矢量積分的計算方法

陳春彩，余小剛，楊 芳

（閩南理工學院基礎部，福建石獅362700）

矢量積分在大學物理中有著非常廣泛的應用。在教學實踐中發現，學生普遍難以掌握矢量積分的計算。因此，本文歸納總結了大學物理中常見的矢量積分的種類，并給出了矢量積分計算的一般方法，有助于學生更好的理解和掌握矢量積分的計算方法。

大學物理；矢量積分；標量積分；計算方法

在大學物理的學習中，矢量積分隨處可見。從質點運動學到質點動力學，從剛體力學到電磁學，都離不開矢量積分的應用。但在高等數學的教學中，只是注重介紹矢量的點乘、叉乘和混合乘法計算，而沒有明確積分的物理意義和矢量的微積分運算，所以在大學物理的學習中，很多學生難以掌握矢量積分的意義，并且對矢量積分的計算有所畏懼，隨之也就覺得物理很難學了。因此，掌握矢量積分的計算，有利于大學物理課程的學習[1-2]。

1 矢量積分的分類

大學物理中常見的矢量積分主要可以分為以下四類：

(1)一般矢量積分：被積函數是矢量，而被積表達式是矢量和標量的乘積，積分計算所得結果是矢?運動方程沖量，電場強度等。這類矢量積分常見于運動學和動力學以及電場強度的計算中，也是最簡單的一種矢量積分。

(2)矢量點乘積分：被積函數是矢量，且被積表達式是兩個矢量的點乘，積分計算所得結果是標量的積分運算。例如變力做功W=∫lF·dr,電勢V= ∫lE·dl,電通量φe=∫SE·dS,磁通量φm= ∫SB·dS等。這類矢量積分主要用于計算變力做功，電勢，電通量，磁通量的求解等問題中。

(3)矢量叉乘積分：被積函數是矢量，且被積表達式是兩個矢量的叉乘，積分計算所得結果是矢量的積分運算。例如磁感應強度安培力

(4)矢量混合乘法積分：被積表達式是矢量點乘和叉乘的混合運算。例如動生電動勢ε= ∫l(υ×B)·dl。

2 矢量積分的計算方法

在教學實踐中發現，學生普遍難以掌握矢量積分計算的主要原因是沒有掌握矢量積分計算的根本原則。矢量積分計算的根本原則是將矢量積分轉化為標量積分，而把矢量積分化成標量積分的方法主要有兩種：

方法一：根據矢量的計算法則直接將矢量積分化成標量積分進行計算；

方法二：將被積分函數進行正交分解，然后在兩個正交的方向上分別進行標量積分計算，最后將兩個正交方向上的標量積分結果進行矢量合成。

矢量既有大小又有方向。一組矢量累積求和時，如果所有矢量的方向都相同，則可以直接對改組矢量的大小進行累積求和，方向取共同方向；如果所有矢量的方向不全相同，則可將該組所有的矢量進行正交分解，然后在兩個正交的方向上分別進行標量累積求和，最后對兩個正交方向上的結果進行矢量疊加。積分的本質是微元的累積求和，矢量積分的實質就是矢量微元的累積求和。因此，進行矢量積分時，可參照以下步驟：

(1)判斷矢量微元的方向是否一致；

(2)如果矢量微元的方向一致，則選用方法一進行計算；

(3)如果矢量微元的方向不一致，則選用方法二進行計算。

判斷矢量微元方向是否一致，可以在幾個不同的位置取幾個不同的微元，然后對被積表達式的方向進行判斷。若方向一致，則可說明矢量微元的方向一致；若方向不全相同，則可說明矢量微元的方向不全相同。

3 矢量積分應用舉例

【例題1】一質點的恒定加速度a=6ti+4j。t=0時其速度為零。求該質點任意時刻的速度。

這類矢量積分是最簡單的一類，其被積函數已經是正交分解的形式，因此可以選用方法一直接進行積分計算，也可以選用方法二，先分別在x、y方向上積分后再寫成矢量的形式，即：

【例題2】如圖1所示，正電荷q均勻地分布在半徑為R的圓環上。計算在環的軸線上任意一點P的電場強度。

圖1 帶電圓環軸線上的電場強度

解析：選取如圖所示微元dl，電荷元dq=λdl，其中電荷的線密度

其中r2=x2+R2，單位方向矢量er的方向沿r指向P點。

首先根據步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統一：分別在不同的兩點A、B選擇線元。如圖1所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元dE的方向是不同的。因此，可以判斷矢量微元的方向不統一；然后根據步驟(3)選擇方法二進行正交分解后再分別積分計算：如圖1所示，正交分解：dE=dE⊥e⊥+dExi

方向：沿x軸正方向。

【例題3】質量為m的物理在質量為M物體的引力作用下從A點沿如圖所示軌跡運動到B點，求該引力所做的功。

圖2 引力從A到B做功

解析：物體m所受到的引力為：

如圖2所示，引力所做的功：

首先根據步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統一：由圖可知，在任意兩個不同的地方分別取位移元dr后，引力F和位移元dr之間的夾角θ不相等，由此可知，根據步驟(3)選擇方法二進行正交分解后再分別積分計算比較簡便。

正交分解：dW=dWτ+dWr

【例題4】無限長直導線通有電流I1，在同一平面內有長為L的直導線通有電流I2，如圖3所示。長為L的直導線與x軸的夾角為α，其下端距無限長直導線r，求長為L的直導線所受的安培力。

圖3 長直導線所受的安培力

解析：在長為L的直導線上距

下端為l處任選一電流元I2dl。

I1在該電流元處激發的磁場為：

方向垂直紙面向里。

則直導線所受到的安培力為：

首先根據步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統一：分別在不同的兩點A、B選擇線元。如圖3所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元的方向是相同的，都垂直于L向上。因此，可以判斷矢量微元統一；然后根據步驟(2)選擇方法一將矢量積分化成標量積分進行計算：

方向：垂直于L向上。

【例題5】求無限長載流直導線的磁場中任意點P的磁感強度，已知點P與導線的距離為r0，導線中的電流為I。

圖4 無限長載流直導線的磁感強度

解析：建立如圖4所示坐標系，在導線上距原點O為y處任選一電流元Idy,根據比-薩定律，其在P點磁感強為：

首先根據步驟(1)判斷矢量微元的方向是否統一：分別在不同的兩點A、O選擇線元。如圖4所示，選擇不同的線元后得到的矢量微元dB的方向都是相同的，方向沿Z軸負方向。因此，可以判斷矢量微元的方向統一；

然后根據步驟(2)選擇方法一根據矢量計算法則直接將矢量積分化成標量積分進行計算：

由圖可知，在不同的位置選擇線元，位置矢量的大小和夾角θ都不相同，所以此處的r和θ都是變量。且根據幾何知識可得：

4 總結

矢量微積分在大學物理中有著非常廣泛的應用，因此正確解答矢量積分運算是學好大學物理的基礎。矢量積分計算的關鍵是將矢量積分轉化為標量積分。本文的主要特色有兩點：

第一，對大學物理中常見的矢量積分進行了分類，便于學生學習和掌握；

第二，給出了將矢量積分轉化為標量積分的通用方法和基本步驟，并借助五個典型的例題詳細介紹了該方法的具體應用。相對于其他矢量積分的方法[2-6]來說，本文給出的方法緊扣矢量積分計算的關鍵因素，淺顯易懂，計算過程簡單快捷，且通用性更強。經過教學實踐證明，學生更容易理解并掌握這種矢量積分的方法。

[1]馬新澤.淺析大學物理中的微積分教學[J].昌吉學院學報,2009（2）：111-114.

[2]秦朝峰.電磁學中矢量點叉積的積分運算[J].物理通報,2014（1）：23-26.

[3]馬文蔚,周雨青.物理學教程(第二版)上冊[M].北京：高等教育出版社,2006：57-59.

[4]馬文蔚,周雨青.物理學教程(第二版)下冊[M].北京：高等教育出版社,2006：81-83.

[5]漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程：力學[M].北京：高等教育出版社,1997：114-122.

[6]梁燦彬.普通物理學教程：電磁學(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2004：227-243.

〔責任編輯 高彩云〕

Calculation Methods of Vector Integral in College Physics

CHEN Chun-cai,YU Xiao-gang,YANG Fang
（Department of Basic Science,Minnan University of Science and Technology,Shishi Fujian,362700）

There is widespread application of the vector integral in college physics.During the teaching practice,it found that the calculation of vector integral is difficult to be grasped by students.Therefore,the common types of vector integral of the college physics are summarized in this paper.And this paper has also given the general method of vector integral,which can help students to understand and grasp the calculation method of vector integral.

college physics;vector integral;scalar integral;calculation method

O411.1

A

1674-0874(2016)03-0033-03

2016-01-20

閩南理工學院教學改革與研究項目資助[2015B24]

陳春彩（1986-）,女，福建泉州人，碩士，講師，研究方向：大學物理教育。