基于高觀念背景下的高考數學命題解析

陳傳芳

摘要：高考數學試題的命題試圖借助高觀點考察學生的潛能力。本文旨在解析高等數學背景下的高考數學命題趨勢。

關鍵詞：高等數學;函數;研究

通過對近年高考試題的探究，不難發現高等數學背景下的高考數學有以下趨勢：

趨勢1：涉及的問題往往是數學的某一分支學科發展初期比較核心的問題或某一分支中比較著名的問題， 這些問題能夠反映該分支的思想或方法;

趨勢2：將高等數學中與初等數學比較靠近的內容（ 如凸凹性、不動點原理、壓縮映象原理等）直接和間接以定理的形式給出，考查學生轉換（化歸、遷移）問題的能力。

趨勢3：作為數學核心概念及基本思想和技能的內容： 函數、統計、導數、向量、逼近、算法、圖論初步、矩陣與變換等內容和反映數學文化及對數學發展起重大作用的數學名題仍會是出題的熱點。

一、以函數知識為載體，研究函數的各類性質

題設中直接引入了高等數學中的某些概念、結論、運算等，要求學生能內化題目給定的信息，抓住相應的關系和特征，結合原有的初等知識解決問題。

（一）函數圖象的凹凸性

定義：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1， x2和任意的實數λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f為I上的凸函數。反之，如果總有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），稱f為I上的凹函數。

例1.在中，當x1>x2>1時，使 ?成立的函數是（ ? ?）

（二）新概念、新運算

1.改編高等數學題

把高等數學中原來問題的條件或結論加以改造（強化、弱化或等價轉化），變換形式，改變提法，從而做初等化處理，使之可用初等數學方法解決。

2.從高等數學的定理出發來改編（降維）

把高等數學中一般性的定理等，用特殊化方法轉化成初等數學問題，揭示了問題的本質及變化規律。

3.引入有高等數學背景的新概念

命題中引進了中學數學中未曾見過的一些“新概念”，這些新概念有著高等數學的背景，而且能夠為考生感性上所理解和接受，對綜合考查學生進一步深造的潛能有著不可低估的作用。

例2.中學數學中存在許多關系，比如“相等關系”，“平行關系”等等。如果集合A中元素之間的一個關系“～”滿足以下三個條件：

（1）自反性：對于任意a∈A，都有a ～ a;

（2）對稱性：對于a，b∈A，若a ～ b，則有b ～ a;

（3）傳遞性：對于a，b，c∈A，若a ～ b，b ～ c，則有a ～ c;

則稱“～”是集合A的一個等價關系。例如：“數的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立）. 請你再列出三個等價關系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（三）拉格朗日中值定理

1.定理：若函數f滿足如下條件（i）f在閉區間[a，b]上連續;

（ii）f在開區間（a，b）上可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

拉格朗日中值定理是數學分析的一個重要定理，是解決函數在某一點的導數的重要工具。近年來，不少高考壓軸題以導數命題，固然這些壓軸題用初等數學的方法也可以求解，但初等數學的方法往往計算量較大。

2.應用題型：

● 證明類似

● 證明類似

● 證明類似

例題4.設函數，如果對任何x≥0都有f（x）≤ax成立，求a的范圍。

二、以構造函數為方法，研究不等式

不等式的證明問題是高考的一個難點，傳統證明不等式的方法技巧性強，多數學生不易想到，并且各類不等式的證明沒有通性通法。通過構造輔助函數利用導數證明問題，將不等式問題轉化為利用導數研究函數的單調性和最值問題。

（一）構造形似函數型

對證明形如f（x）≧g（x）（a≦x≦b）的不等式構造形如F（x）=f（x）-g（x）的函數，并通過一階或二階、三階求導達到證明目的的不等式。

（二）作輔助函數型：對含有兩個變量的不等式，可構造出以其中一個變量為為自變量的函數，再采用上述方法證明不等式。

（三）對數法構造函數（選用于冪指數函數不等式）

例題5. f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足

A af （b）≤bf （a） ?B bf （a）≤af （b） ?C af （a）≤f （b） ?D bf （b）≤f （a）

三、以數列知識為依托，利用“不動點”求數列通項公式

由遞推公式求其數列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關系但又難求通項的數列綜合問題，因此我們可以利用對函數“不動點”問題，來簡化對數列通項問題的探究。

（一）不動點：一般的，設 f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使 f（x0） = x0成立，則稱x0為f（x）的不動點。

（二）線性遞推數列的通項

若f（x）=ax+b，p是f（x）的不動點，an滿足遞推關系式an= f（an-1），（n>1）則{an-p}是以a為公比的等比數列。

（三）求非線性遞推數列的通項

若， an滿足遞推關系式an=f（an-1）， （n>1）初值條件a1≠ f（a1）

（1）若f（x）有兩個相異的不動點p、q，

則

（2）若f（x）有唯一的不動點p，

則

例題6.已知數列{an}，，求數列{an}的通項公式。

利用函數“不動點”法求解較復雜的遞推數列的通項問題，并不局限于以上二種類型，基于高考數列試題的難度，本文不再對更為復雜的遞推數列進行論述。

因為高考命題專家以大學教授為主，而且這種高等數學背景下的高考題目體現了一定的公平性，所以，以高等數學為背景仍然將是今后幾年高考出題的熱點。