從事物的極限到函數(shù)的極限

梁齊天

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）09-0256-03

每年秋季剛考進(jìn)大學(xué)的非文科一年級(jí)新生們都要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門課程的。而高等數(shù)學(xué)里第一個(gè)概念就是數(shù)學(xué)極限的定義，這對于學(xué)生是非常難學(xué)的，老師也感到難教，這是一個(gè)歷史現(xiàn)象。

目前高中階段在學(xué)習(xí)變化率導(dǎo)數(shù)時(shí)，也是有意地繞過極限定義的。可見極限定義困難的程度。

極限的定義為什么這樣難教難學(xué)，就是因?yàn)槲覀儗τ谒诰蛘J(rèn)識(shí)的不夠。

我經(jīng)過很長一段時(shí)間對極限琢磨與研究著，而今我有個(gè)重大發(fā)現(xiàn)，我窺視到了函數(shù)y=f（x）的極限就是函數(shù)y=f（x）在某種條件下的極大值ak 極小值。因?yàn)闃O大值、極小值是此前中學(xué)階段里很普通而又很熟練的知識(shí)，在這個(gè)很熟練的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)極限就一帆風(fēng)順了。下面是我的設(shè)計(jì)：

一、事物的極限

極限并不陌生和抽象，在生產(chǎn)生活中，我們身邊存在和充滿著許多通俗易懂極限的問題。

比如我們行走在一座橋的前面看見路旁有個(gè)交通警示牌，牌上寫著20t，這是什么意思呢？這是告訴人們經(jīng)過橋梁的車輛及其載物不能超過20噸重，超過了20噸，橋梁就有可能斷裂或倒塌，釀成危險(xiǎn)性事故。這是橋梁負(fù)荷的極大限制值。

用火箭發(fā)射人造衛(wèi)星，火箭的發(fā)射速度不能小于7.9km/s，小于這個(gè)發(fā)射速度，衛(wèi)星就上不了天，這是衛(wèi)星上天時(shí)火箭發(fā)射速度的極小限制值。

嚴(yán)寒的冬天，千里冰封，萬里雪飄……必須要到晴天氣溫才能不斷升高，達(dá)到0℃以上的時(shí)候，冰雪才能融化。這個(gè)0℃是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓之下冰雪融化溫度的極小限制值。

上面的極大限制值、極小限制值。取極大值、極小值的“極”字，取限制的“限”字。簡稱為極限。反過來，以后看到“極限”一詞也可顧名思義地聯(lián)想起極限里的“極”字就是極大值或極小值。“限”字就是限制。

這樣一來，我們得到了含有變量的事物的極限定義。

定義：含有變量的事物在某種條件下變化著，它的極大限制值或極小限制值，就叫做這事物在該條件下的極限。

于是，上面橋梁的負(fù)荷極限是20t，火箭發(fā)射人造衛(wèi)星能上天速度的極限是7.9km/s，冰雪在其溫度不斷升高時(shí)，保持固體形狀的極限溫度是0℃。

化合物H2O在其溫度下降時(shí)，保持液體狀態(tài)的極限溫度是0℃，在其溫度不斷上升時(shí)，保持液體狀態(tài)的極限溫度是100℃。

簡單而粗糙的說，事物的極限就是它的極大值或極小值。數(shù)學(xué)函數(shù)也是一件事物，所以函數(shù)的極限也是它的極大值或極小值。下面我們僅就函數(shù)的一個(gè)方面數(shù)列談一下。其余的函數(shù)類似之。