講清兩個側面引導學生建立正確的數學觀

楊桂春

【摘要】數學知識既是演繹的又是實驗歸納的，但人們往往只看到其演繹的一面而忽略了其實驗歸納的過程，這不利于學生認清數學的本質.本文從合情推理的意義與價值、數學知識的邏輯程序與歷史程序、數學發展過程中的兩個動力、數學中規定的必要性與合理性等角度，分析比較數學的兩個側面及其關系，對引導學生建立正確的數學觀做了一些嘗試.

【關鍵詞】數學知識；兩個側面；數學觀

一、一個有趣的例子

1777年，法國數學家蒲豐（Comtede Buffon ）提出了一個有趣的求π值的實驗方法：在平面上畫兩條距離為a的平行線，將一根長度為l（l

我們知道圓周率π是圓周長與直徑的比值，是一個有確定值的精確概念，卻可用與圓周毫不相干的投針實驗來近似地得出，真是不可思議.其實這個結論反映了數學知識內在的本質的聯系，這里不去研究.問題是：數學作為一門邏輯性的演繹學科，實驗歸納扮演什么樣的角色呢？進而引發了關于數學觀的疑問：數學是演繹的，還是實驗歸納的？抑或兩者兼而有之？數學發展的動力是什么？數學真理的標準是什么？

二、數學觀與數學的本質

數學觀是人們對數學的總體看法，也就是人們對什么是數學的認識，從認識論的角度來說，每個人都有自己的數學觀，大多數人趨于共識的認識構成了主流的數學觀.數學的本質究竟是什么？

關于數學的本質究竟是什么，主要有以下幾種觀點：

恩格斯說：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學.

著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾認為：數學是系統化了的常識.

數學史學家認為：數學是人為規定的一套語言、符號系統.

數學哲學家認為：數學是確定無疑的絕對真理.也有人認為正好相反：數學是可誤的且可糾正的等等.

數學觀決定著人們對數學的態度和解決數學問題的方法.20世紀初，數學家在如何解決數學基礎危機問題上由于各自不同的數學觀（羅素認為數學就是邏輯，馮·諾伊曼認為數學是符號游戲，布勞威認為數學是心智的構造）便產生了三種解決方案，并由此發展出數學基礎的三大學派：邏輯派、形式派、直覺派.

三、數學的兩個側面

波利亞指出數學既是一門系統的演繹科學又是一門實驗性的歸納科學，即數學具有二重性.“一方面，以最后確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，它是歐幾里得式的嚴謹科學，是一門系統的演繹科學；另一方面，從形成過程中的數學看來卻像是一門實驗性歸納科學.”由于數學教科書記載的是定型的數學知識，因此，數學展現給人們都是第一個側面，很少反映第二個側面，從而在學生思想中形成數學是嚴謹的演繹學科的深刻印象，掩蓋了數學實驗與歸納的面目，從而形成片面的數學觀.這種片面的數學觀將妨礙學生正確理解和運用數學，也影響學生學習數學的興趣.

四、教師的責任

數學教育工作者自身的數學觀對教學方式及學生數學觀的形成的影響是很大的.

如果把數學看成是絕對的真理、看成靜態知識的堆砌，那么數學教學的目的就是教師把這些知識原樣地傳授給學生，學生只需模仿和記憶，教學評價則以學生掌握知識量作為評價指標.

如果認為數學真理不是絕對的，把數學看成問題、語言、命題、理論和觀念組成的復合體，是動態的認識發展系統，那么數學教學的目的就是培養學生的批判意識和創造能力，提升人的數學素養、實現人的發展.

既然存在著不同的數學觀，作為數學教育工作者，必須選擇正確的數學觀并把它融入數學教育工作中去，數學教育的任務應該是既把數學知識傳授給學生又培養其創新精神，同時又使學生形成正確的數學觀.

講清數學的兩個側面，引導學生建立正確的數學觀，是廣大數學教育工作者的責任，也是值得深入探討的一個問題.

筆者認為，在傳授數學知識的同時，使學生了解以下幾點，對形成正確的數學觀是有益的.

（一）合情推理的意義與價值

科學思維具有兩重性：一類是進行論證推理的邏輯思維；另一類則是形象思維.形象思維最直接的層面是合情推理.邏輯思維是在 “抓到真理”后進行完善和 “補充證明”的思維，而合情推理則是 “發現真理”的思維.

合情推理是波利亞的“啟發法” 中的一個推理模式，它是指觀察、歸納、類比、實驗、聯想、猜測、矯正與調控等方法，是波利亞多年深入研究數學問題解決過程得出的理論成果.波利亞認為，可以機械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具體情況，不斷地向自己提出有啟發性的問句、提示，以啟動與推進思維的小船.

他明確提出有兩種推理：論證推理可用來確定數學知識，合情推理可用來為猜想提供依據，即波利亞給我們指出數學思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴格的證明，而且有許許多多其他方面：推廣、歸納、類推以及從具體情況中辨認出或者說抽取出某個數學概念等等，數學教師應使學生了解這些十分重要的 “非形式”思維過程.在日常生活中，合情推理幾乎無處不在，比如：“它可能是……” （猜測），“做出來看一看” （實驗），“由上所述可得……” （歸納），“將人心比自心”（類比），“可以想象” （聯想），“實踐是檢驗真理的唯一標準” （檢測）等.

合情推理是產生數學猜想的主要源泉，受惠于合情推理，數學猜想不斷推動數學學科的進步.從數學發展史上看，每一個重要數學發現，除演繹推理外還要大量地依賴于合情推理，許多數學問題、數學猜想，包括著名各界難題的解決，往往是在對數式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法的，而后再進行邏輯驗證，同時隨著問題的解決，使數學方法得到提煉或數學研究范圍得到擴展，使數學發展前進一步.

合情推理是“發現真理”的思維，我們的數學教學，歷來強調邏輯思維，而對合情推理有所忽視，“既教證明，又教猜想”，結合情推理能力的教學以適當的地位，是開發學生創造性素質的需要，是全面提升學生優秀文化素質的需要，是全面開發大腦潛力的需要.忽視了合情推理能力的培養，勢必使學生的推理意識和能力形成缺陷，對今后的發展造成不可估量的損失.

合情推理是培養探索能力的基本手段，是培養創造能力的重要武器，是“數學發現”的重要途徑，無論是對于數學自身的發展，還是對于學生自身的發展，合情推理都具有非常重要的意義，因此，我們應該格外重視合情推理能力的培養.

（二）數學知識的邏輯程序與歷史程序

數學教材是根據教學需要，按照知識的邏輯程序編排的.一般說來，知識產生的歷史程序與教材反映的邏輯程序并不完全一致且不為學生所知，如初等代數教材中都是先研究指數函數再用指數來定義和研究對數函數，這在邏輯上是和諧的.而歷史上，指數與對數是毫不相干的數學概念先后形成的，而且是對數在前，指數在后，是歐拉發現了兩者之間的對應關系，從而有了現在的邏輯程序.這種邏輯程序對理解和研究指數與對數的知識是頗有益處的，繞過了前人所走的一切彎路.

按邏輯程序編寫的教學內容，由于不能正確、客觀地反映數學知識形成的過程而掩蓋了數學形成過程中歸納與實驗的一面，造成數學是抽象的、枯燥無味的消極影響.為了消除這種消極影響，教師在教學時要講清數學知識產生的淵源及形成的過程，使學生了解數學知識的邏輯程序與歷史程序及相互之間的差異，了解人為造成這種差異的動機與效果.這對激發學生學習數學的興趣，形成正確的數學觀是有益的.

（三）數學發展過程中的兩個動力

數學的發展主要受兩個因素的驅使，一個是使數學知識趨于完善的內在需求.為了解決數學自身的問題，彌補原有知識的缺陷，人們做出一些新的規定，從而演繹出新的數學知識.如為了使“開平方”運算得以有意義的實施，人們引進了虛數單位i，規定i2=-1，并規定形如a+bi （a，b為實數）的數叫復數，并規定了復數的四則運算，從而演繹出復數的理論體系.在這個過程中邏輯起了主導作用，體現了數學的邏輯與演繹的一面，往往是先從理論上完善后考慮應用.

另一個是解決實際問題的需求也刺激了數學的發展.為了解決實際問題，人們不斷嘗試和選擇著新的方法，在這過程中實驗與歸納起了主導作用.這時的數學方法是零零星星的，從理論上來講是不完善的，如微積分在應用了相當長時間時，理論基礎尚未完全建立起來.在嘗試過程中，有許多失敗的教訓，最終失敗的記錄隨著時間的推移而被淡化了，而有益的嘗試經過邏輯加工而成型了，以演繹的形式傳了下來，展現于世人面前.其實邏輯演繹與實驗歸納對數學的發展都是極其重要的，沒有邏輯數學無法嚴密，沒有實驗歸納數學就難創新，往往是先應用后理論完善.

（四）數學中規定的必要性與合理性

為了更好地研究、傳播及應用，數學中必須做出一些規定用以規范和界定不同的數學對象，這與社會中制定（規定）法律來規范人們的言行是類似的.

規定是人為的，人們總是試圖用少量的規定來達到所需的目的，對數學中規定的必要性與合理性的研究體現了數學實驗歸納與演繹推理的兩個側面.因此，正確認識數學中的規定也是形成正確的數學觀的一個重要因素，教學時必須講清規定的必要性與合理性.數學中的所有定義都是規定的.定義一般都是從一些客觀對象中抽象出來的，抽象的過程是一個歸納的過程.如“規定了方向、原點和長度單位的直線叫數軸”就是從人們早已熟知的秤桿、溫度計及船閘上的標尺等中抽象出來的.在教學過程中必須講清定義的實際來源.同時，還要結合教學內容深入淺出地講清各種定義的合理性，使學生感到自然、切實.如為了使am÷an及Cmn=n！m！（n-m）！在m=n時有意義，必須對a0（a≠0）與0！做出規定，規定可以任意做出，如規定a0=3，0！=8等，但考慮到其合理性及數學知識的和諧性，人們選擇了a0=1（a≠0），0！=1，這就反映了數學演繹的面目.數學中的符號都是人工制訂、約定俗成的，也可說是前人規定的.符號的形式及意義不是一旦確定就一成不變的.講清各種數學符號的起源及演變過程也有助于學生正確認識數學.如，開平方符號“”的演變過程，最初用·a+b 表示a+b的平方根，后來又用 a+b表示，但因都無法區別a+b與a+b而被廢棄了.了解演變過程同時也有助于正確使用數學符號.

學生怎樣認識數學受許多因素的影響，如何引導學生建立正確的數學觀也非一篇文章能講清，這里談一點個人的體會與做法，求教于大家.