數學建模過程中的模型優化算法

楚曉媛

【摘要】隨著我國社會主義現代化建設的不斷發展，我國的科學技術水平實現了前所未有的提升，其對數學思維的應用也更加廣泛，對于解決實際問題有著重要的意義與價值.本文將引入歷屆數學建模競賽優秀的論文，著重對數學建模過程中的模型優化算法進行深入探討，通過對模型優化算法策略的研究，為解決實際問題提供一個參考與借鑒.

【關鍵詞】數學建模；模型優化；算法；轉化模型

改革開放以來，我國對教育給予了高度的重視.數學建模作為高等院校數學專業極為重要的組成部分，其不僅能夠促進數學與現實世界的聯系，而且能夠在一定程度上提升學生的邏輯思維能力與解決實際問題的能力，然而在數學建模過程中也普遍存在著優化模型求解的難題，因此，對數學建模過程中模型優化計算的探究有著重要的實用價值與研究意義.

一、數學建模相關概述

所謂數學建模，就是通過一系列的科學計算得出相應的結果，進而用來解決現實生活中的實際問題，并能夠接受相關檢驗而建立起來的數學模型.當對某一個特定問題或實際問題進行分析的過程中，人們需要對與該問題相關的各項信息進行有效的調查，并在掌握基本信息的基礎上，做出科學假設，對其內在規律進行有效分析，并能夠通過數學符號語言進行相應的描述，進而建立完整的數學模型.改革開放以來，我國的計算機信息技術取得了前所未有的發展，數學建模在工程技術、自然科學等行業得到了充分的應用，且正朝著經濟、金融、環境等各個領域滲透，已經成為現代社會一種新型的高新技術產品，在社會生產與生活中發揮著不可替代的作用.數學模型的建立需要對現實問題進行深入剖析，并強調對數學知識的靈活運用，其與計算機技術共同成為知識經濟時代的重要工具.

二、數學建模過程中的模型優化算法

（一）對特殊關系式的巧妙處理

通過以往的數學建?？梢园l現，部分數學優化模型不能夠直接通過軟件技術進行結果輸出，這很大程度上是由于模型目標函數中含有特殊的關系式，如不等式等，這些關系式無法采用軟件直接求解，基于這一現象，可以充分利用0-1變量，并通過合成技術對這類問題進行計算.如原油的采購與加工類問題：

其模型目標函數出現了多個分段函數：

c（x）=10x，0≤x≤500，1000+80x，500≤x≤1000，3000+6x，1000≤x≤1500.

對于該模型，可以直接對其各個分段函數做出相應的處理，可以將x三個區間設由（0-1變量）進行控制，其函數值可以通過對三個區間的有效整合，對函數值進行合成，可以對函數圖像進行探究，并結合函數值，引入變量yk和非負變量zk.基于特殊關系式模型，需要對以下問題進行深度分析：（1）有甲必不能有乙的排斥關系；（2）在m約束中共有k個有實際作用；（3）建模中含有絕對值的式子.

（二）降低可行域

在進行數學優化模型構建時，需要加強身體，能夠充分利用題目中給出的各項信息，做出大膽的猜想與假設，也可以通過直接信息元素得出相關信息，增加約束條件，這不僅能夠在一定程度上降低模型求解的難度系數，而且能夠對問題的求解起到決定性作用.以某年生產車輛的安排為例，要想能夠降低運輸成本，必須保障使總運量以及出動卡車的數量達到最低，需要滿足鏟點與卸點在平均時間內完成目標，便可以稱之為無沖突，并以此建立相關的數學模型.在這個過程中很容易將約束條件局限于電鏟能力、產量任務等方面.因此，可引入變量0-1，并通過fi描述確定i號鏟點的使用情況，實現對電鏟數量的有效約束∑10i-1fi≤7，fi∈{0，1}，除此之外，還可以適當增加對卡車數的相關約束：xij≤AijBij，分別采用xij，Aij，Bij代表鏟點i到卸點j的發車次數、同行運行卡車數以及最多可運行次數等，然后通過卸點運行一周期所用的平均時間可以得出相應的結果.

（三）對模型的有效轉化

通常，對于一些計算起來比較困難的數學模型，可以通過轉化的方法，使模型的難度得到大大降低，然后再進行相應的求解計算，常用的轉化方法有離散問題連續化、連續問題離散化等，以易拉罐下料問題為例，其決策變量采用的是整數形式，再加上生產數量的巨大，可以將其看作實數，進而轉化為線性規劃.再如飛行管理相關問題，可以進行非線性規劃，通過已知條件：飛機速度等同，可以將這一距離約束問題轉化成角度約束問題，便于計算.這些例子都在一定程度上體現了數學建模中模型轉化的優越性.

（四）優化計算方法的靈活選用

1.三大非經典算法

在數學建模過程中，通常會遇到對非線性關系復雜數據進行擬合的參數，在這種條件下，可充分引入人工神經網絡，這種方法不僅無需對相關函數關系進行假定，而且能夠對復雜的非線性函數進行有效的模擬，能夠對題目中的各

項數據進行充分有效的利用.另外，對于優化組合類問題，則可以采用遺傳算法與模擬退火算法，如某年的鋼管訂購與運輸問題，采用的是非線性規劃模型，傳統的算法很難順利實現求解，而采用遺傳算法則能夠實現很快求得最優結果.

2.蒙特卡羅算法

數學建模中難免會遇到隨機規劃模型問題，對于此類問題可采用蒙特卡羅計算方法，例如：每份報紙價格為0.02元，某報童以該價格買進報紙，并以0.05元/份的價格出售，其每天的銷售量與百分率如下表所示：

從題面上可以得知未銷售的報紙以0.02元/份退還報社，所求的是報童每天買進多少份報紙才能保證其平均收益達到最大.對于這一問題，可采用模擬方法，做出相對合理的預測，然后通過數學建模對猜想進行驗證，另外還可以對隨機優化模型進行求解，這些都能夠應用到實際生活中，實現對現實問題的有效解決.

3.支持向量機算法

支持向量機算法能夠有效彌補神經網絡在局部極值問題方面的缺陷，其在預測以及綜合評價領域應用較為廣泛，如1989年數學建模大賽中蠓的分類問題，已知兩種不同類型蠓蟲的觸角長度與翅膀長度，要求對15只蠓蟲進行分類鑒別，采用支持向量機的計算方法，通過二次規劃模型的建立，可以求得一個分類函數，然后將相關數據帶入便可求得結果，該計算方法快捷、有效.

結束語

近年來，社會各個行業對數學建模的應用日趨廣泛，數學建模與優化方法的聯系更加密切，在社會生產與生活中得到了前所未有的應用，在數學建模中，都不同程度地包含了最優計算思想，而這些最優理論又是通過具體的數學建模形成的，因此，必須加強對數學建模的重視，準確把握當前數學建模過程中存在的各項問題，實施科學的優化計算策略，提升其在社會實際問題中的作用與價值.

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