“木馬”云查殺，加固“防火墻”——方程（組）與不等式（組）錯題解析

張麗華　安丹紅

“木馬”云查殺，加固“防火墻”——方程（組）與不等式（組）錯題解析

張麗華安丹紅

方程（組）與不等式（組）都是基本的數學模型，是解決實際問題的重要數學工具，又是中考命題必考內容之一.梳理鞏固這兩部分內容的基礎知識更能為解答中考熱點問題——函數、方程（組）、不等式（組）的綜合性問題奠定好基礎.下面我們就方程（組）與不等式（組）中查殺出的各類“木馬”進行分析，進一步加固“防火墻”.

木馬病毒一：對于各類方程定義的理解不徹底

例1已知關于x、y的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=2.

（1）當k=_______時，方程為一元一次方程；

（2）當k=_______時，方程為二元一次方程.

【錯誤解答】（1）k=±1；（2）k=±1.

【木馬自述】（1）令x2項系數為0時還挺明白的，當算得k=±1時，下意識就認為x的系數（k+1）肯定是0了.

（2）想著肯定不能有二次項，又得到了k=±1的答案，就沒有考慮一次項x的系數不為0.

【殺毒建議】對一元一次方程、二元一次方程的定義要充分掌握，未知數個數、未知數次數、未知數系數三方的要求都要考慮周全，因此正確解答為：（1）k=-1；（2）k=1.

例2（2015·白銀）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一個根為0，則a=_______.

【錯誤解答】a=±1.

【木馬成因】做題時只關注了“根是0”，忘了一元二次方程的定義要求二次項系數不為0.

【殺毒建議】充分理解一元二次方程的定義，如果給出的方程二次項系數含有字母，切記“二次項系數不能為0”這一條件，所以本題正確答案應該是a=1.

木馬病毒二：對于不等式的基本性質運用不靈活

例3（2015·樂山）下列說法不一定成立的是（）.

A.若a＞b，則a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則a2＞b2

D.若ac2＞bc2，則a＞b

【錯誤解答】D.

【木馬成因】對于D，不等式兩邊同時除以c2，只單純判斷出c2≥0，想著要是0的話肯定不成立，就選了D.

【殺毒建議】D選項中由非負性c2≥0，而條件ac2＞bc2中隱含了c2≠0，因此選項正確；

C選項中因為任何數的平方都是非負數，所以a2與b2的大小取決于和的大小關系，因此本題應該選C.

木馬病毒三：對解方程的步驟執行不到位

例4（2015·盤錦）方程（x+2）（x-3）= x+2的解是________.

【錯誤解答】x=4.

【木馬成因】觀察方程左右兩邊以為可以同時除以（x+2）來化簡方程，化簡后得到了x-3=1.

【殺毒建議】要熟知用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項；②因式分解；③令每個因式為0，化為兩個一元一次方程；④解這兩個方程.所以此題①移項：（x+2）（x-3）-（x+2）=0；②因式分解：（x+2）·（x-4）=0，正確結果為：x1=-2，x2=4.

【錯誤解答】x=2.

【木馬成因】解分式方程時按照步驟解得x=2，但忽略了分式方程有增根的問題.

【殺毒建議】解分式方程的關鍵是熟記解分式方程的步驟，一定要進行檢驗.此題經檢驗，原方程無解.

木馬病毒四：對于一元一次不等式（組）中字母取值的思考有疏漏

A.a≥1B.a＞1

C.a≤1D.a＜1.

【錯誤解答】B.

【殺毒建議】“大大小小是無解”的口訣只能初步確定字母的范圍a＞1，然后單獨分析a=1的情況，發現無解（符合題意），綜上得到a≥1.

A.-1≤m＜0B.-1＜m≤0

C.-1≤m≤0D.-1＜m＜0

【錯誤解答】D.

【木馬成因】解得不等式組的解集為m-1＜x＜1，由恰有兩個整數解得到-2＜m-1＜-1，選擇D.

【殺毒建議】當初步確定字母的范圍-2＜m-1＜-1后，必須單獨分析m-1=-2及m-1=-1兩種情況：令m-1=-2，解集為-2＜x＜1恰有兩個整數解（符合題意）；令m-1=-1，解集為-1＜x＜1恰有一個整數解（不符合題意）.綜上-2≤m-1＜-1，故選A.

木馬病毒五：對于分式方程分母不為0的條件依舊模糊

【錯誤解答】n<2.

【木馬成因】按步驟求出分式方程的解x=n-2，由解是負數得出n<2，卻忘了老師一再強調的解分式方程驗根必不可少.

【殺毒建議】遇到分式方程的問題，一定要記得使原方程有意義的條件：2x+1≠0，任何時候都不能忽略分母不為0，所以正確解答是n<2且

例9（2015·畢節）關于x的方程x2-4x+ 3=0與有一個解相同，則a=______.

【錯誤解答】a=±1.

【木馬成因】先解得一元二次方程的解為x1=1，x2=3；再解分式方程整理得到x=a+ 2；所以分別代入x=1和x=3得到a=±1.

【殺毒建議】討論分式方程的解一定要記得使原方程有意義的條件：分母不為0.而x=1時分式方程無意義，所以只能將x=3代入，最終a=1.

一鍵掃描：

1.若關于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍___________.

A.a＞1B.a＜1

C.a≥1D.a≤1

3.方程3（x-5）2=2（x-5）的解是______.

A.6＜m＜7B.6≤m＜7

C.6≤m≤7D.6＜m≤7

A.m≥-1B.m＞-1

C.m＞-1且m≠1D.m≥-1且m≠1

診斷結果

1.k<2且k≠12.D3.x1=5，4.原方程無解5.D6.1或-1 7.D8.-3≤a＜-2

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校、江蘇省無錫市安鎮中學）