“木馬”云查殺，加固“防火墻”——方程（組）與不等式（組）錯(cuò)題解析

張麗華　安丹紅

“木馬”云查殺，加固“防火墻”——方程（組）與不等式（組）錯(cuò)題解析

張麗華安丹紅

方程（組）與不等式（組）都是基本的數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)工具，又是中考命題必考內(nèi)容之一.梳理鞏固這兩部分內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)更能為解答中考熱點(diǎn)問題——函數(shù)、方程（組）、不等式（組）的綜合性問題奠定好基礎(chǔ).下面我們就方程（組）與不等式（組）中查殺出的各類“木馬”進(jìn)行分析，進(jìn)一步加固“防火墻”.

木馬病毒一：對于各類方程定義的理解不徹底

例1已知關(guān)于x、y的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=2.

（1）當(dāng)k=_______時(shí)，方程為一元一次方程；

（2）當(dāng)k=_______時(shí)，方程為二元一次方程.

【錯(cuò)誤解答】（1）k=±1；（2）k=±1.

【木馬自述】（1）令x2項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)還挺明白的，當(dāng)算得k=±1時(shí)，下意識(shí)就認(rèn)為x的系數(shù)（k+1）肯定是0了.

（2）想著肯定不能有二次項(xiàng)，又得到了k=±1的答案，就沒有考慮一次項(xiàng)x的系數(shù)不為0.

【殺毒建議】對一元一次方程、二元一次方程的定義要充分掌握，未知數(shù)個(gè)數(shù)、未知數(shù)次數(shù)、未知數(shù)系數(shù)三方的要求都要考慮周全，因此正確解答為：（1）k=-1；（2）k=1.

例2（2015·白銀）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一個(gè)根為0，則a=_______.

【錯(cuò)誤解答】a=±1.

【木馬成因】做題時(shí)只關(guān)注了“根是0”，忘了一元二次方程的定義要求二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【殺毒建議】充分理解一元二次方程的定義，如果給出的方程二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，切記“二次項(xiàng)系數(shù)不能為0”這一條件，所以本題正確答案應(yīng)該是a=1.

木馬病毒二：對于不等式的基本性質(zhì)運(yùn)用不靈活

例3（2015·樂山）下列說法不一定成立的是（）.

A.若a＞b，則a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則a2＞b2

D.若ac2＞bc2，則a＞b

【錯(cuò)誤解答】D.

【木馬成因】對于D，不等式兩邊同時(shí)除以c2，只單純判斷出c2≥0，想著要是0的話肯定不成立，就選了D.

【殺毒建議】D選項(xiàng)中由非負(fù)性c2≥0，而條件ac2＞bc2中隱含了c2≠0，因此選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)中因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以a2與b2的大小取決于和的大小關(guān)系，因此本題應(yīng)該選C.

木馬病毒三：對解方程的步驟執(zhí)行不到位

例4（2015·盤錦）方程（x+2）（x-3）= x+2的解是________.

【錯(cuò)誤解答】x=4.

【木馬成因】觀察方程左右兩邊以為可以同時(shí)除以（x+2）來化簡方程，化簡后得到了x-3=1.

【殺毒建議】要熟知用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)；②因式分解；③令每個(gè)因式為0，化為兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)方程.所以此題①移項(xiàng)：（x+2）（x-3）-（x+2）=0；②因式分解：（x+2）·（x-4）=0，正確結(jié)果為：x1=-2，x2=4.

【錯(cuò)誤解答】x=2.

【木馬成因】解分式方程時(shí)按照步驟解得x=2，但忽略了分式方程有增根的問題.

【殺毒建議】解分式方程的關(guān)鍵是熟記解分式方程的步驟，一定要進(jìn)行檢驗(yàn).此題經(jīng)檢驗(yàn)，原方程無解.

木馬病毒四：對于一元一次不等式（組）中字母取值的思考有疏漏

A.a≥1B.a＞1

C.a≤1D.a＜1.

【錯(cuò)誤解答】B.

【殺毒建議】“大大小小是無解”的口訣只能初步確定字母的范圍a＞1，然后單獨(dú)分析a=1的情況，發(fā)現(xiàn)無解（符合題意），綜上得到a≥1.

A.-1≤m＜0B.-1＜m≤0

C.-1≤m≤0D.-1＜m＜0

【錯(cuò)誤解答】D.

【木馬成因】解得不等式組的解集為m-1＜x＜1，由恰有兩個(gè)整數(shù)解得到-2＜m-1＜-1，選擇D.

【殺毒建議】當(dāng)初步確定字母的范圍-2＜m-1＜-1后，必須單獨(dú)分析m-1=-2及m-1=-1兩種情況：令m-1=-2，解集為-2＜x＜1恰有兩個(gè)整數(shù)解（符合題意）；令m-1=-1，解集為-1＜x＜1恰有一個(gè)整數(shù)解（不符合題意）.綜上-2≤m-1＜-1，故選A.

木馬病毒五：對于分式方程分母不為0的條件依舊模糊

【錯(cuò)誤解答】n<2.

【木馬成因】按步驟求出分式方程的解x=n-2，由解是負(fù)數(shù)得出n<2，卻忘了老師一再強(qiáng)調(diào)的解分式方程驗(yàn)根必不可少.

【殺毒建議】遇到分式方程的問題，一定要記得使原方程有意義的條件：2x+1≠0，任何時(shí)候都不能忽略分母不為0，所以正確解答是n<2且

例9（2015·畢節(jié)）關(guān)于x的方程x2-4x+ 3=0與有一個(gè)解相同，則a=______.

【錯(cuò)誤解答】a=±1.

【木馬成因】先解得一元二次方程的解為x1=1，x2=3；再解分式方程整理得到x=a+ 2；所以分別代入x=1和x=3得到a=±1.

【殺毒建議】討論分式方程的解一定要記得使原方程有意義的條件：分母不為0.而x=1時(shí)分式方程無意義，所以只能將x=3代入，最終a=1.

一鍵掃描：

1.若關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍___________.

A.a＞1B.a＜1

C.a≥1D.a≤1

3.方程3（x-5）2=2（x-5）的解是______.

A.6＜m＜7B.6≤m＜7

C.6≤m≤7D.6＜m≤7

A.m≥-1B.m＞-1

C.m＞-1且m≠1D.m≥-1且m≠1

診斷結(jié)果

1.k<2且k≠12.D3.x1=5，4.原方程無解5.D6.1或-1 7.D8.-3≤a＜-2

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校、江蘇省無錫市安鎮(zhèn)中學(xué)）