平行線中的“截線”

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　徐俊文

平行線中的“截線”

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院徐俊文

《平行線的性質(zhì)與判定》是初中幾何教學(xué)的開始，教學(xué)中由于簡述判定定理與性質(zhì)定理，極易使學(xué)生產(chǎn)生沒有“截線”或“截線”可有可無的誤區(qū)，事實(shí)上，“截線”在平行線的判定定理與性質(zhì)定理的使用中起著至關(guān)重要的作用，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐闡述了“截線”在平行線的性質(zhì)與判定定理的使用中的重要作用以及使用方法，教學(xué)中應(yīng)更加注意強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“截線”重要作用的認(rèn)識(shí).

平行線幾何教學(xué)截線

平行線中的“截線”是平行線的性質(zhì)定理和判定定理應(yīng)用的基礎(chǔ)，但在日常教學(xué)中，為了方便學(xué)生記憶定理，在敘述定理時(shí)，我們往往采用簡述的方式，如“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，同位角相等”.這種簡述的方式，往往會(huì)使學(xué)生忽視“截線”的存在，甚至認(rèn)為“截線”不存在.事實(shí)上，定理的完整敘述中都提到了“截線”這一條重要的直線，如“如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等”、“兩直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行”，如果“截線”不存在，那么“同位角”、“內(nèi)錯(cuò)角”、“同旁內(nèi)角”都將不存在，是不能應(yīng)用性質(zhì)定理及判定定理的.所以，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化“截線”的存在是必要的，適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)拓展一些依靠“截線”而存在的角的求法和相關(guān)問題的解法不但會(huì)使學(xué)生加深對(duì)定理中“截線”的認(rèn)識(shí)，更能讓學(xué)生了解幾何問題研究的方法，開拓學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的視野.下面結(jié)合平行線性質(zhì)定理及判定定理中的幾個(gè)例題，談?wù)劇敖鼐€”在平行線中的不可忽視的作用.

一、兩直線被一條直線所截

1.性質(zhì)定理的應(yīng)用.

例1．已知：如圖1，a∥b，∠1=56°，求其余各角的度數(shù).

圖1　

解：∵a∥b，∴∠5=∠1=56°，

∴∠7=∠5=56°，∠3=∠1=56°，

∵∠1+∠2=180°，

∴∠2=180°-∠1=180°-56°=124°，

∵a∥b，∴∠6=∠2=124°，

∴∠8=∠6=124°，∠4=∠2=124°.

評(píng)析：題目中，雖沒有提到“截線”c，但正是因?yàn)橛辛恕敖鼐€”才構(gòu)成了這八個(gè)角，八個(gè)角當(dāng)中不僅是已知了∠1的大小，可以求出其余各角，而是只要已知其中任何一個(gè)角，就可以求出其余各角.

2.判定定理的應(yīng)用.

例2.已知：如圖2，∠1=∠2，求證：a∥b.

圖2　

證明：∵∠2=∠3， ∠1=∠2，

∴∠1=∠3，∴a∥b.

例3． 如圖3，已知∠1=120°，∠A=60°，判斷直線AB與CD是否平行，并說明理由.

圖3　

解：AB∥CD，理由如下：

∵∠1+∠2=180°，

∴∠2=180°-∠1 =180°-120° =60°，

∴∠A=∠2， ∴AB∥CD.

評(píng)析：以上兩個(gè)題的題設(shè)部分均沒有提到“截線”，但是為證明直線平行所需要的同位角都是依賴于“截線”存在的，因此在解決與“判定直線平行”有關(guān)的問題時(shí)，只要找準(zhǔn)了“截線”，再結(jié)合需要證明的平行的直線，便很容易找到證明直線平行所需的同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角.

二、兩直線被兩直線所截

1.性質(zhì)定理的應(yīng)用.

例4.如圖4，若已知∠1、∠2的大小，便可如例1所示求出其余的14個(gè)角的大小；若旋轉(zhuǎn)直線d至與直線c平行，如圖5，則只需知道其中一個(gè)角的大小，便可由例1所示的方法，求出其余15個(gè)角的大小.

圖4　

圖5　

因此，能正確識(shí)別“截線”，并根據(jù)“截線”的位置正確使用“截線”及其相關(guān)的結(jié)論，可以化未知為已知，化難為易.

2.判定定理的應(yīng)用.

例5.如圖6，下列推理錯(cuò)誤的是（）

圖6　

A.∵∠2=∠5，∴c∥d

B.∵∠3=∠4，∴c∥d

C.∵∠1=∠3， ∴c∥d

D.∵∠2=∠3，∴a∥b

答案：C

評(píng)析：此題中關(guān)鍵就是要分清判斷直線平行的角是依賴哪條截線存在的，且應(yīng)注意，兩條直線平行與否應(yīng)根據(jù)推理，不應(yīng)根據(jù)視覺感覺.

三、兩直線被三直線所截

性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用的經(jīng)典例題及其變式練習(xí).

例6．如圖7，已知，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)D、E、F在同一條直線上，且∠A=∠F，∠C=∠D.求證：AE∥BF.

圖7　

證明：∵∠C=∠D，

∴DF∥AC.∴∠A=∠1，

又∵∠A=∠F，

∴∠F=∠1，

∴AE∥BF.

變式.如圖8，已知∠1=∠2，下列結(jié)論正確的是（）

圖8　

A.AB∥EFB.AB∥BF

C.AB∥EF，AE∥EF

答案：B

評(píng)析：此圖就是將例6中的點(diǎn)C沿著BA方向滑動(dòng)至與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D沿著EF方向滑動(dòng)至與點(diǎn)E重合，但仍然是兩直線被三條直線所截的問題.

平行線中有了“截線”，才有了角，才能構(gòu)成相等、互補(bǔ)的角，反之相等、互補(bǔ)的角才能判定直線平行，因此，“截線”在平行線中起著至關(guān)重要的作用，在教學(xué)中不可忽視.