數學方法好，解題沒困擾——幾種典型的高中數學解題方法例析

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學　鄭曉晴

數學方法好，解題沒困擾——幾種典型的高中數學解題方法例析

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學鄭曉晴

高中數學題型多變，表面看來難度大，深度廣，很容易讓學生望而生畏，要想消除學生的這種顧慮，就要從解題方法入手，潛心研究，不斷反思，總結方法.要懂得根據題設的相關知識，提出靈活的設想，尋找巧妙的解題方案.方法恰當事半功倍，方法不對收效甚微，所以要學好高中數學必須要重視解題方法的研究.本文將著重進行以下幾個方法的介紹.

一、轉換法

高中數學一種不可或缺的解題方法就是轉換法.這種方法的解題思想是把未知問題轉化為已知問題.適合解決難易程度較高的題型，稍具難度的問題和基礎知識的聯系都是不明顯的、間接的、復雜的，能夠靈活運用這種方法對學生的想象力和創造性思維是不小的挑戰.這種方法關鍵一步是將所求式（未知問題）朝著已知的方向進行合理的變形，好的轉化方法可以把不熟悉的問題轉為熟悉的，把不規范的問題轉為規范的，復雜的問題轉為簡單的.比如，對于有理分式的題可以運用轉化方法將分式化為整式，廣義分式也可以將一元函數轉化為二元函數求積分，然后解答起來就簡單容易了.

例1若x、y、z∈R＋且x＋y＋z＝1，求∈的最小值.

分析：由關鍵性的已知條件x＋y＋z＝1我們聯想到：將所求式變形轉化為含代數式x＋y＋ z，或者運用均值不等式后含xyz的形式，這樣就將所要求的未知問題轉化為已知問題.答案很快就明了了.本題先通分，再整理分子，最后拆分.將求

轉化意識的形成不是一蹴而就的，需要我們在解題中不斷的應用，不斷的訓練，久而久之強化這種轉化思想，培養解決數學問題的應變能力，提高數學素質.

二、反證法

“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”.這是法國數學家阿達瑪對反證法解數學題的精辟概括.邏輯性與規律性兼容是高中數學的基本特點，能從題目中很容易就找到證明條件的情況少之又少，當我們從正面入手很難找到切入點的時候，不妨換一種思維方式，想方設法從它的相反方向考慮尋找突破口.具體地說，首先否定原命題，再把這個經過否定的命題作為一道新題的已知條件，在這個已知條件下進行正常的推理，推出的結論與我們公認的已知條件、已知公理、定理、法則或者已經被證明為正確的命題等相矛盾，根據這個矛盾的結論就可斷定最初的假設不成立，進而肯定了原命題的結論，這就是反證法.運用反證法主要分為以下幾個步驟：①假設：仔細閱讀題目，理清原命題的條件和結論是什么（為了防止出現錯誤，可以在草紙上列出來），理清頭緒后作一個與命題結論相反的假設，也就是結論的反面成立.②求證：以上面的假設為已知條件出發，運用正常的推理法進行求證，從而得到矛盾的結果是成立的.③最后一步需要推理一下：產生上面矛盾結果的原因是第一步的假設本身就是假的，而第二步求證假設的結果也不真，這就間接地證明原命題是真實的，從而完成原命題證明，它是一種間接證明的方法.

例2求證兩條直線a，b中的一條與平面α相交，則另一條也和平面α相交.

證明：這類題我們完全可以用反證法來解決，假設直線a與平面α相交，a、b互相平行，b也與平面α相交，假設b不與平面α相交，就必然形成了兩種情況：

①b在平面α內，由a平行于b，a不屬于平面α，a平行于平面α，與題設相互矛盾.

②b∥α，可過b作平面β，設β∩α=c，則b∥c.而b∥a，則a∥c，同上可得a∥α，與題設a與α相交矛盾.

因此b和α只能相交.

在同一思維過程中，真相只有一個，既然b在平面α內和b∥α已經為假，那么原結論b也和平面α相交就一定為真.反證法另辟蹊徑，反其道而行之，要求學生有很強的逆向思維能力，根據題的特點，對癥下藥，準確假設，細心求證，科學推理，任何一步都不能有紕漏，否則前功盡棄.所以要求學生在做題時，認真審題，審慎考慮，理清頭緒，大膽嘗試，否則起不到事半功倍的作用.

三、數學歸納法

證明與自然數N有關的命題是高中數學常見的題型，數學歸納法針對這種問題最適用.歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，應用非常廣泛，一般來說，與正整數有關的一些恒等式、不等式、整除性、數列的通項及前n項和等問題都可以采用此種方法，它條理清晰，操作簡單，很容易接受.要熟練地掌握數學歸納法，必須準確地把握解題步驟，歸納法分為以下幾步：第一步，驗證n＝n0時命題成立，這是基礎性的一步，為后面的歸納做鋪墊；第二步，若n＝k（k≥n0）時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，這是關鍵性的一步，為后面的歸納作遞推；最后，得出結論，命題對從n0開始所有的正整數n都成立.兩個步驟（同樣重要），一個結論，缺一不可.

例3求證：12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）.

證明：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立.（歸納奠基）

②假設n＝k時等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝ k（k＋ 1）（2k＋1）.

由①②可知原等式對于任意n∈N*都成立（結論）.

評析：第一步是求證n取第一個值時等式是否成立，第二步在假設n＝k時，一定要寫出對應的表達式，證明n＝k＋1時，一定要用到歸納假設.第二步證明的關鍵要看左右兩邊的項和證明的目標，合理利用一湊假設，二湊結論的證明技巧.為了做題時不缺少步驟，我們可以記住這樣一個口訣：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.

四、圖解法

數學少不了圖形，數學圖形直觀形象，清晰明了，還能把數學問題的條件、結論及它們之間的關聯精確地反映出來，我們要巧妙地利用圖形的這一特點，它也是解決數學問題的又一重要技巧.解決數學問題不能手懶，有時只靠頭腦想像還是缺乏直觀性，容易忽略某個已知條件，而繪制圖形擺在眼前，所有已知條件躍然圖中，借助對幾何圖形的有效分析，得出文字數學的結論（將所研究的代數問題轉為研究其對應的幾何圖形），實現抽象文字表述到具體形象展現的轉化，達到數與形的密切結合，科學滲透，我們給這種方法起個名字叫圖解法.圖解法的特點就是將許多抽象的數學概念和數量關系以圖形的形式直觀地展現給學生，借助學生對圖像的敏感，啟發學生的思路，尋找解題的關鍵，以便獲取更加準確的答案.圖解法是數形結合在數學解題過程的集中性體現，由“形”獲取“數”的方法.

例4已知偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈［0，1］時，f（x）=x，則方程f（x）=log3x的解的個數為（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

圖1　

解析：用圖解法.根據題意，函數最小正周期為T=2，則畫出圖像（圖1），由圖像觀察得知，符合題意的選項是C.

圖解法既分析其數與量之間的關系，又揭示其幾何含義，避免了文字的枯燥，展現了圖形的魅力，使數量關系和圖形緊密地聯系起來，不僅能夠對高中生的數學知識進行整合，還能夠增強對他們的創新性思維的培養.這種方法的應用廣泛并貫穿高中數學學習的全過程，我們要在實踐中不斷地加以練習，熟悉識圖技巧，形成良好的數學思維習慣，掌握其內涵，領會其精髓，培養學生利用圖形解決問題的能力，解決數學難題對學生的困擾，讓學生在數學題海中自在的遨游.F