如何巧解高中數學選擇題

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學　楊廣娟

如何巧解高中數學選擇題

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學楊廣娟

選擇題以其“題型小、檢面寬、解法活、過程簡、批閱便”等特點為各種考試所青睞.高中數學試卷中選擇題的比重較大，是不容小覷的一種題型.做好數學選擇題的關鍵，不僅要有高的質量還要有快的速度.如何既快又準地解答選擇題是困擾學生的一大難題，解決這一難題的法寶就是必須掌握科學的解題方法.美國著名數學家波利亞說過：“掌握數學就意味著要善于解題.”因此，除熟練掌握基本知識，提高運算能力之外，還需要充分運用各種數學思想巧解選擇題.這里根據筆者多年的教學經驗和實踐所得總結幾種巧解選擇題的方法，希望能夠引起學生的重視，增強數學素質，使學生具有數學頭腦和眼光，以期提高解題的速度和正確率.

一、直接法

直接法是高中數學解答選擇題常用的方法，此種方法適用于運算不太復雜、相對簡單的題目，或者是涉及概念、性質的理解和辨析的題目.直接法應用范圍廣泛，很多學科都普遍采用，主要考查學生最基本的解題能力，是考驗基本功的重要環節.運用好此種方法先要從題設條件出發，認真審題，再結合學過的有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結論，然后對照所給的選項答案“對號入座”做出相應的選擇.這種方法能夠培養謹慎，細心的做題習慣，避免不必要的丟分.

例1設f′（x）、g′（x）分別為f（x）、g（x）的導函數，且滿足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，則當a

A.f（x）g（b）>f（b）g（x）B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（x）>f（b）g（b）D.f（x）g（x）>f（b）g（a）

簡析：直接通過已知條件構造函數F（x）=f（x）g（x），則F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，知道F（x）在（a，b）內單調遞減，有F（x）>F（b），即f（x）g（x）>f（b）g（b），則得出正確答案C.這種直接推斷的方法不繞彎子，簡單明了，技巧性不是很強，但是需要基礎知識的扎實掌握，需要同學們把書讀透，深刻理解基本概念、公式、結論的內涵和外延，并逐漸掌握它們的使用方法.這一點是很容易被學生忽視的，很多人認為考試不可能讓默寫某個概念或公式，所以復習時常常一帶而過，對這部分知識采取輕蔑的態度，而沒有考慮到很多時候出題者是利用這些概念或公式考查學生解決問題的能力.這種靈活運用公式、概念的能力只有也只能通過反復做題來獲得，所以建議廣大學生要保證做一定數量的此類題目.

另外，平時做題曾經求證過的而書上沒有的結論也可以直接拿來用.比如，三棱錐的側棱兩兩垂直則頂點在底面的射影是底面三角形的垂心，記住它，那么每當出相關的題時，你會感覺比較敏感，直接推出一些有用的結論，不僅節約時間，還提高了效率.

二、配方法

當我們面臨一道內容抽象不易捉摸的題目時，配方法就像魔法棒一樣，可以幫助我們化難為易，化繁為簡.簡單說配方法就是利用完全平方公式對數學式子進行一種定向變形，把一個式子或部分式子配成完全平方的技巧.當原題抽象有難度時，我們不妨設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所涉及的各對象之間的細微關聯，也就是通過配方架起一道已知和未知的橋梁，從而化繁而簡，找到原題的解題思路.何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方，它是數學重要的方法和技巧.

配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方新形勢.

如：（1）a2＋b2＝（a＋b）2-2ab＝（a-b）2＋2ab；

（2）a2＋ab＋b2＝（a＋b）2-ab＝（a-b）2＋3ab＝

（3）a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝（（a＋b）2＋（b＋c）2＋（a＋c）2）；

（4）a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2-2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b-c）2-2（ab-bc-ca）＝……

結合其他數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式.

例2方程x2＋y2-4kx-2y＋5k＝0表示圓的充要條件是（）.

A?1

C.k∈RD.k＝?或k＝1

簡析：配方成圓的標準方程形式（x-a）2＋（y-b）2＝r2，解r2>0即可，選B.

三、圖解法

數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.有些涉及數量關系的選擇題目，用代數方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大，消耗時間，而用圖形分析相關的數量效果則大不一樣.圖像提供的信息讓人感覺更直觀，從而大大降低思維難度，是解決數學選擇題的又一有效方法.圖解法簡單說就是根據題意，畫出相關的圖形，然后根據圖形的畫法及相關性質、特征，得出結論.其本質就是利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題轉化為圖形問題，利用圖形的直觀性，再輔以簡單計算，確定正確答案.圖解法貫穿重要數學思想——數形結合思想，這種解法以簡馭繁，使抽象內容形象化，復雜關系條理化，有很大的實用性.

例3已知偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈［0，1］時，f（x）=x，則方程f（x）=log3x的解的個數為（%）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

簡析：用圖解法.根據題意，函數的最小正周期T=2，則畫出圖像（圖1），由圖像觀察得知，符合題意的選項是C.

圖1　

圖解法只需畫出草圖，然后根據圖形的形狀、位置、性質、綜合特征等得出正確答案，省時省力，方便快捷.不過運用這種方法是一定要對有關函數圖像、方程曲線、幾何圖形有較深的了解，否則圖像運用錯誤必然會誤導結論，得不償失.

四、特殊值法

當我們面臨一道難以直接入手的一般性題目時，可以考慮迂回戰術，嘗試從一般情況中尋找特殊的部分.就是考查包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，這個簡單的特殊問題解答起來容易、快捷，接著從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發現解答原題的方式和途徑，這就是特殊值法.特殊值法就是用特殊來判斷一般規律的方法，我們可以采用一個特殊的值或者是圖形來替換題中普遍的條件，如果特殊值成立，那一般情況就成立，特殊值不成立，一般情況也不一定會成立，以此來得出一個結論，然后再對照得出答案.常見的特殊值有特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特殊值的選擇越簡單越方便，結果就越清晰越明確，此種方法可以避免復雜的運算過程在短時間內判斷對錯、大小，不僅降低了學生的計算量，還縮小了答案的選擇面，提高了學生的解題效率.這種方法對解決某些定值性選擇題特別有效，30%左右的選擇題可以選用此種方法.

例4已知二次函數y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，則一定有（%）.

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0

C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0

簡析：當a＜0時，拋物線的開口朝下，且當x=-1時，ax2+bx+c=a-b+c＞0，即y＞0，顯然圖像與x軸有兩個交點，而且我們知道b2-4ac＞0，所以本題的答案應為A.

當正確地選擇對象，在題設條件都成立的情況下，用特殊值進行探求，便會得出最佳答案.

總之，除上述介紹的方法外，還有如估算法、極限法、邏輯法等.關于方法的選擇要在實踐中具體問題具體分析，根據不同題目類型的典型特點選擇最有效、最便捷的解題方法.如果對每一道選擇題都能做到優化，則可以為后面大題的求解節省很多寶貴的時間，做到時間的合理分配，質量的準確高效.所以，平時要對選擇題的解法不斷進行總結，努力掌握，靈活運用，提高解題能力，促進數學素質快速培養，以便有十足的把握備戰高考.F