高中學生數學審題失誤的類型和培養學生審題能力的策略*

筅陜西省麟游縣中學　張哲　韓紅軍　張紅祥

高中學生數學審題失誤的類型和培養學生審題能力的策略*

筅陜西省麟游縣中學張哲韓紅軍張紅祥

數學審題就是對題目信息進行觀察、理解、處理，感知數學問題中的文字和圖形信息，弄清哪些是條件，哪些是結論，獲取數學“符號信息”和“形象信息”，識別題目的類型，將獲取的信息不斷重新整合，提取有用的結論，明確解題方向、思路和途徑.在解題過程中發現已知和未知之間的聯系無法建立時回題，檢查是否遺漏或忽略某一條件；當問題得到解答時，檢測結論是否與已知相符合，是否與已知有矛盾之處的一種立體螺旋式動態思維活動.數學審題貫穿于整個解題過程之中，包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分.三部分互相依存，形成一個有機的整體，又密不可分.

一、審題失誤的類型

1.曲解題意

由于學生沒有讀懂題目，沒有正確理解題意，可能遺漏條件，可能沒有理解字面含義，可能沒有理解數學概念，可能沒有畫圖分析題意導致審題錯誤，曲解題意.

1.1遺漏條件

例1從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是［3b2，4b2］，則這一橢圓離心率e的取值范圍是（）.

錯誤審題：此題曾使很多同學苦惱，無法求出準確答案.

原因分析：因為學生沒有充分注意“劃出一塊面積最大的矩形”這一條件.設橢圓方程為=1，則橢圓的參數方程為則矩形的面積s=4acosα·bsinα=

2absin2α，故最大矩形面積為2ab.所以3b2≤2ab≤4b2圯，所以

1.2沒有理解字面含義

例2某商場預計2016年從1月起前x個月顧客對某種商品的需求總量（單位：件）P（x）與月份x的近似關系是P（x）=x（x+1）（41-2x），x≤12，x∈N*.

（Ⅰ）寫出第x個月的需求量（單位：件）（fx）的表達式；

（Ⅱ）若商場在年初必須與供貨商簽訂供貨協議，在每月初必須等量地進貨A（A∈Z）件，試確定A的最小值，使得該商場的備貨每月都能滿足需求.

錯誤審題：（Ⅰ）很容易得到（fx）=-3x2+42x，x≤12，x∈N*（.Ⅱ）由題知，A≥（fx）對坌x≤12，x∈N*恒成立，所以A≥（fx）max=（f7）=147.

原因分析：上述錯誤審題的原因是學生沒有正確理解題中“該商場的備貨每月都能滿足需求”這句話的含義，把“備貨”和“進貨量”簡單地劃上了等號，認為只要A不小于每個月的需求量即可.所以正確審題分析如下：由題意知，A≥P（x）對坌x≤12，x∈N*恒成立，故A≥P（x）max=115，又A∈Z，所以A的最小值為116［1］

1.3錯誤理解數學概念

例3設兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為，若向量2te＋7e與e＋te的夾角為鈍角，實數t的

1212范圍為_________.

錯誤審題：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，得（2te1＋7e）2·（e1＋te2）＜0，化簡即得：2t2＋15t＋7＜0，解得-7＜t＜-

原因分析：上述錯誤審題的原因是錯誤理解了向量的夾角為鈍角這個概念造成的.當夾角為π時，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，但此時夾角不是鈍角，2te1＋7e2與 e1＋te2反向.設2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ＜0，可求得故所以所求實數t的范圍是∞∪

1.4沒有畫圖幫助分析審題

例4已知拋物線y2=2px（p>0），點A（2，3），F為焦點，若拋物線上的動點M到A、F的距離之和的最小值為，求拋物線的方程.

錯誤審題：由題意知，|MA|+|MF|≥|AF|，則（|MA|+ |MF|）min=|AF|=，解得p=2或p=6.當p=6時，拋物線的方程為y2=12x，若x=2，則y2=12x=24> 9，不符合題意，應舍去.同理可知，p=2符合題意.故所求拋物線方程為y2=4x.

原因分析：上述錯誤審題在于沒有畫圖，畫圖分析可知，點A和焦點F有可能在拋物線的異側，有可能在拋物線的同側.如果在同側，作MN⊥l于點N，AB⊥l于B，于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AB|，則（|MA|+|MF|）min=|AB|=，解得p=2（，經檢驗符合題意.所以所求拋物線方程為y2=4x或y2=4（

2.忽視隱含條件

由于學生忽視題目中的隱含條件，可能是參數所含的制約條件，可能是問題表述中的隱含條件導致審題錯誤.

2.1忽視參數所含的制約條件

例5在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數方程分別為（t為參數）和（θ為參數），則曲線C1與C2的交點坐標為________.

錯誤審題：本題考查參數方程與直角坐標方程之間的轉化，突破口是把參數方程轉化為直角坐標方程，利用方程思想解決，曲線C1的直角坐標方程為y2=x，曲線C2的直角坐標方程為：x2+y2=2，聯立方程得，解得所以交點坐標為（1，1）或（-1，-1）.

原因分析：上述錯誤審題的原因是忽略了參數所表示的取值范圍，表達式中x，y∈［0，+∞）.曲線C1的直角坐標方程為：y2=x（x≥0，y≥0），曲線C2的直角坐標方程為：x2+y2=2，聯立方程得所以交點坐標為（1，1）.［2］

2.2挖掘問題表述中的隱含條件

例6已知x2+4y2=4x，則x2+y2的取值范圍是（）.

B.［0，+∞）

C.［0，16］D.［16，+∞）

原因分析：本題涉及兩個變量，而且結論中的x2+ y2≥0，所以上述審題程序是有漏洞的，失誤的原因主要是忽略了題目中由于兩個變量x，y的相互制約所隱含的變量x的取值范圍，所以我們可以進一步完善上述審題程序如下：

3.反思終審

由于學生解完題后沒有回頭望，忽視檢驗或數學定理、公式或法則沒有吃透，運用不當導致解題后的終審錯誤而功虧一簣.

3.1忽視檢驗

例7已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，求a，b的值.

錯誤審題：f′（x）=3x2+2ax+b，由題意可知，

原因分析：對于可導函數，導數為0的點不一定是極值點.函數y=f（x）在x=x0處取極值的充要條件應為：（1）f′（x0）=0，（2）在x=x0左右兩側的導數值的符號相反.上述錯誤審題的原因是只滿足了（1），對于（2）我們必須進行驗證：當a=-3，b=3時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知在x=1的左右兩側都有f′（x）>0，即函數f（x）在R上是單調遞增的，因此f（x）在x=1處并不存在極值.當a=4，b=-11時，f（x）=x3+4x2-11x+16的圖象如圖1，當a=-3，b=3時，f（x）=x3-3x2+3x+9的圖像如圖2，故本題正確答案應為

圖1　

圖2　

3.2數學定理、公式或法則運用不當

原因分析：利用基本不等式求最值時，無論怎樣變形，均需滿足“一正、二定、三相等”的條件.上述審題的錯誤原因是解題時應盡量避免多次應用基本不等式，如連續應用了基本不等式，應特別注意檢查等號是否能同時成立.b＋4，因為a>0，b>0，a＋b＝1，則≥17.所以原式≥×17＋4＝最小值是

二、培養學生審題能力的策略

1.以概念教學為途徑，培養學生正確的審題意識和審題方向

審題意識是指學生對審題行為本身的覺察和關注度.數學審題能力的培養，首先要培養學生的閱讀能力，而最能培養學生閱讀能力的是概念教學.課堂教學中，在概念形成時，給學生充足的時間和空間，引導學生多角度地思考和聯想，體會概念產生的背景，公式、定理的推導中蘊含的思維方式等.（1）通（粗）讀.看到一個數學題目后，先進行粗略閱讀，搜集匯總題目中的信息，對重要的字、詞、句、量標上記號，理清題目中的已知條件和結論，對解題途徑提出若干設想，從自己大腦中儲存的知識中提取與之相適應問題的方法，建立初步的思維鏈，在大腦中進行整合.（2）精讀.通讀之后要認真細致地閱讀題目條件，仔細體會題目中的關鍵詞句，包括直接的、間接的、隱含的條件等一個都不能放過.同時，畫個圖、列個式子、文字語言翻譯成數學語言，看不懂的地方變換一下表述方式，逐字逐句地加以理解.

2.運用程序化審題方法，培養學生的審題習慣

審題習慣是指在解題過程中，在弄清和理解題意，找到解題對策過程中的行為心理表現及思維方式.具體表現在：首先獲取題目的有用信息，弄清題目的結構特征，弄清題目的意境，明確題目的要求，然后捕捉和加工題中的有效信息，辨析題中的限制條件和隱含條件，判明題型，選擇相應解法.學生的審題是一個心理過程，為了規范學生的審題，培養學生的審題習慣，我們可以采用下列的審題程序：（1）已知條件是什么？關鍵詞是什么？（理清條件）（2）求（證）什么？屬于什么范疇的問題？（找準目標）（3）問題中所涉及的數學術語的含義是什么？怎么表示？（條件轉化）（4）是否見過類似的問題？什么地方相似？對當前的問題能不能利用？（尋求思路）（5）現在還缺少什么？（回頭再審）（6）題中還有其他限制條件嗎？（挖掘隱含）（7）結果符合實際問題要求嗎？（反思終審）通過不斷地訓練，將學生原先無序的審題活動逐漸轉變為規范化地自控地心理行為，培養學生養成良好的審題習慣，達到審題行為習慣的提升.［4］

3.以審題訓練為抓手，提高學生的審題能力

數學審題能力的高低，直接反映了學生的數學解題能力和學習數學的水平.在初步理解題意后，開始準備解題，這時就要尋找題目的突破口，挖掘已知和所求的內在聯系，使條件向結論逐漸靠近的過程，在向前推導的同時注意觀察，在不斷試探中尋找解法.審題是嚴謹的思維活動，它貫穿于整個解題過程的前后，在解完題后，一定讓學生養成回頭望的習慣，看是否挖出了參數所含的制約條件，是否挖出了問題表述中的隱含條件，是否挖出了問題敘述中暗示的解題突破口.要提高學生審題能力，首先要培養學生的審題意識，其次教會學生程序化的審題，最后還要讓學生養成反思終審的習慣.經過長期地訓練，學生就會養成良好的審題習慣，練就良好的審題直覺，把握正確的方向，形成正確的審題意識，提升自身的審題能力.

1.沈宏.高中數學易錯題的分類與成因分析［J］.中學數學月刊，2015（12）.

2.汪顯林.中學數學解題糾錯實用寶典［M］.西安：陜西師范大學出版社，2014.

3.葛光.跨越導數誤區實現高效學習——例析導數學習中的錯解［J］.中學數學（上），2016（2）.

4.羅增儒.數學審題審什么，怎么審？［J］.中學數學教學參考（上），2012（4）.Z

*本文是2015年陜西省教育學會一般課題“高中學生數學審題失誤的原因與對策研究”（編號：SJHYBKT2015315-02）的研究成果.