三角形背景下的最值問題探究

筅江蘇省揚中市第二高級中學　蔡飛

三角形背景下的最值問題探究

筅江蘇省揚中市第二高級中學蔡飛

解三角形問題中的最值（取值范圍）問題是高考重點題型之一，它不僅與解三角形自身的常見的基礎知識密切相關，而且與代數及一些幾何中的有關性質密切聯系.這類問題綜合性較強，解法靈活，對考生能力要求較高.本文針對近幾年來高考試題中涉及解三角形問題中的面積、角、角的三角函數值、邊長、周長的最值（取值范圍）問題的求解策略進行歸納，以提高同學們的思維能力和解題能力.

一、利用均值不等式

例1設△ABC中的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB=，b=2.

（2）求△ABC面積的最大值.

因為a＜b，所以A是銳角，所以A=30°.

因為b2=a2+c2-2accosB，所以4=a2+c2-ac.

因為a2+c2≥2ac，所以2ac-ac≤4，所以ac≤10，當a=c=時等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3.

評注：均值不等式是高考重要考查點之一，其主要形式是a+b≥2（a，b>0）及a2+b2≥2ab（a，b∈R），應用其解題時要注意定理的適用條件，即“正”“定”“等”的判斷.本題求解中將余弦定理與均值不等式相結合.

變式在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a+c=2b.

（1）求cosB的最小值；

（2）略.

二、構造三角函數

例2如圖1，在等腰直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，M、N分別為線段OB上的點，若∠MAN=30°，則△AMN面積的最小值為_______.

如圖1，過點A作AH垂直OB于B點H，不妨設∠MAH＝α，∠NAH=β.

圖1　

評注：本題求解中通過引入角度α，β，利用解三角形相關知識，構造出面積函數，進一步再將其轉化為y= Asin（ωx+φ）型求最值.另外本題也可利用均值不等式法求解：如圖1，設AN=x，AM=y，因為OB=2，所以OB上的高h=，由面積公式得S=xysin30°，所以S=△AMN△AMN所以xy=2MN.由余弦定理可得所以MN≥，當且僅當x=y時取等號.所以S△AMN≥

三、利用二次函數

圖2　

圖3　

評注：求解最值（取值范圍）問題，有時可先把所求解的問題轉化為二次函數問題，再利用配方法求最值.另外注意到S=AB×h=h（h為BC邊上的高），問題轉化為求h的最大值，可以嘗試判斷滿足AC=BC的動點C的運動軌跡，即借助解析法求解：如圖3，以AB邊所在直線為x軸，AB邊的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0）、B（1，0）.設C（x，y）.由條件AC=BC，得整理得（x-3）2+ y2=8（x≠0），即動點C的軌跡是以點（3，0）為圓心、2姨2為半徑的圓（不含與x軸的兩個交點）.所以S=AB·|y|= |y|≤2，即x=3時，△ABC的面積最大，最大值為2

四、利用導數

圖4　

例4已知矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB、BC上，設∠MNB=θ，MN=l.

（1）試將l表示成θ的函數；

（2）求l的最小值.

解析：（1）如圖4所示，∠MNB=θ，則∠ENB=2θ，在四邊形MBNE中，∠ENB+∠BME=180°，∠EMA+∠BME=180°.所以∠AME=2θ，根據銳角三角函數定義，知MB=lsinθ，AM=l·sinθcos2θ.

由題設得lsinθ+l·sinθ·cos2θ=6，從而可得l=

評注：導數法是求函數單調區間、極值、最值、零點等問題的有力工具.在解答解析幾何最值問題時，將幾何問題代數化后，構造出的目標函數若為高次函數，則可借助導數法求解.

綜上，三角形邊、角、面積等取值范圍或最值問題是高考考查的重、難點之一.此類問題的形式靈活，且注重與函數、不等式和幾何等知識的交匯融合.求解時往往需要結合平面幾何的幾何性質、基本不等式，以及函數值域與最值等相關知識，并充分利用正余弦定理、面積公式、三角形的內角和定理等，以實現幾何問題與代數問題的有效轉化.F