淺析基金定投中定期定額的原理和投資方法

一、基金定投的概念

在現實投資中，一般會分成兩種投資方式，一種是單筆投資，另一種則是分次投資。

對于單筆投資，華爾街流傳這樣一句話：“要在市場中準確地踩點入市，比在空中接住一把飛刀更難。”所有人都希望在最低點買入，最高點賣出，而能做到這點的萬中無一，哪怕是相對低點和高點，大多數人都不能很好的判斷。

相比之下，分次投資更適合大多數人，把資金分次買入相應資產，從而均衡成本、避免最壞的情況，可以使自己立于不敗之地。隨著電子化交易的實現，在基金投資領域，這種分次投資的方法逐漸演化成：以基金為投資標的，按照既定的模式，自動化完成分筆投資，即基金定投。

二、基金定投的分類

按照期限與金額設定方式的不同，基金定投以分成四種類別：

其中，定期定額是基金定投中最初也最基本的模式，投資者通過提交申請，約定扣款時間和扣款金額，并確定扣款頻次、持續時間和申購對象，由銷售機構在約定扣款日自動扣款，完成基金申購。本文主要分析的及時定期定額模式下的投資方法。

三、定期定額的原理和投資方法

基金定投的根本目的是追求收益的最大化，下面以定期定額為投資模式，從數理分析的角度，討論其投資有效性、建立收益的模型、并分析不同維度上最求收益最大化的策略。

（一）定期定額收益的基本原理

定期定額有兩個固定，一個是固定日期，比如按月定投約定每月的1日為扣款日期；另一個是固定金額，比如每次扣款金額為1000元。固定日期避開了擇時，使得投資更趨緊于隨機變化下的均值情況；固定金額則可以在基金凈值低的時候購買更多的份額，降低持倉成本，這種降低是依托調和平均數的特性。

1.調和平均數帶來更低成本。我們把作為買入基金的價格（凈值），那么1元錢可以購買的基金份額就是，假設某只基金在兩個時間的凈值（價格）c1和c2，那么在這兩次購買的份額就是+，而兩次購買花費2元，于是持倉均價就是，是一個調和平均數。如果是單筆購買，即隨機在兩次時點買入，則平均情況是，是一種算數平均數。數學有一個結論，就是算數平均數大于等于調和平均數（只有c1=c2時，兩種平均數才會相等），即。

無論價格的數量有多少，只要定投與隨機單筆購買的價格池一致，這個結果均成立。

通過定期定額獲得的持倉價格，小于隨機單筆購買的平均價格，這種差額-就是定期定額投資帶來的更低成本，更高收益。

例如下圖所示，當我們在ABCDE五個點分別買入一次基金，那么持倉均價不是1，而是0.882，在E點賣出時可以獲得0.118的收益率了。

2.收益的來源。無論是股票還是基金，收益都來自開始的買入價和最后的賣出價的差額，把收益設為R，賣出價設為P，買入價依然是C，而用O和t代表買入階段和賣出階段的時間，則收益可以簡單的表示為：

R=Pt-C0

這個等式，表明收益需要使最后的賣出價更高、而開始的買入價更低。對定期定投來說，其并不注重擇時，所以我們把平均收益作為主要分析的對象。

對于隨機單筆投資而言，平均投資收益就是：

但對于定期定額，其平均投資收益則是：

因為同一時間的買入價等于賣出價，所以我們可以認為，上面的等式就變成：

通過定期定額我們獲得了兩塊收益來源，一部分是投資標的本身的上升-；另一部分來自于通過調和平均值的特性，將持倉成本超額降低的0-0，也是定投帶來的超額收益。

3.收益額最大化。除了考慮價差之外，投資收益額還取決于投資的時間效率和投資金額的多少。當我們進行定期定額投資的時候，不可避免面臨時間問題，如果時間很長則年化收益率必然被攤薄。而且定投的金額大小也會影響最后的絕對收益額。假設第一筆買入和最后賣出的時間差為T，每次定投的金額為d，扣款的次數為N，則在考慮時間和金額后，設平均的單位時間收益額*，則有：

要追求收益額的最大化，就是求*的最大化，從上式可知需要考慮四個方面：更低的買入價格0，更高的賣出價格，更快的買賣T，更大的投資金額N×d。現實投資中，我們在贖回之前往往會持續扣款投資，買賣時差T與定投扣款的次數N直接相關，而單次扣款金額d又與投資人的薪酬水平密切聯系，所以一般情況下投資者更關注的是買賣價差。

4.內部回報率最大化。當資金沒有投入基金時，可以選擇其他的投資方式，在這種前提下我們追求每一份現金流的時間和其對應的平均收益，即內部回報率。內部回報率最大化，就是資金的使用效率最大化。

設平均的內部回報率為，則有

通過兩分法，可以近似求得。即，內部回報率最大化，近似等于單位時間價差最大化。

（二）降低持倉均價

在進行定期定額的設定中，我們會面臨不同的扣款日期、頻率、標的、時間長度的選擇，那么這些設定對于降低持倉成本有什么影響，我們應該如何選擇呢？

1.扣款日期的影響。如果每月的某一天，基金的凈值（價格）總是相對較低的時候，根據這種周期性的變化，選擇在那一天進行定投就可以使持倉價格更低。能不能找到這樣的一天呢？

從證券本身的價值來看，很難說具有周度或者月度的周期性變化；而影響其市場價格的因素多而負責，盡管有的資金因為一些財務的需要會選擇固定在每周或每月的某一天流入或流出，但不同個人和機構的選擇并不一致。換一個角度，如果證券價格具有典型的周期性，那么投資者就可以利用這種周期性低買高買，所有人都這么做的結果就是周期性的消亡。所以，扣款日期對于降低定期定額的持倉價格影響不大。

2.扣款頻率的影響。扣款頻率是指相同時間內扣款的次數，或者兩次扣款之間的時間間隔。目前市場上有按日、周、月、季等定期扣款的方式。

以按季和按月定投為例，在每一個季度內，可以按季定投1次3元，也可以按月定投3次1元。

按季定投的持倉價格就是季度內隨機選擇某一天的價格，假定一個月有30天，平均情況就是所有90個價格的算數平均數：

按月定投有3個價格，可以先計算出總份額，然后計算3個月的持倉價格，，相當于按照這個價格進行季度定投，那么在任何一天開始的平均情況，就是所有30個整合價格的C′算數平均數：

對s的分子分母同時除以3，將ci，ci+30，ci+60分為一組，即可輕易的判斷后者小于前者，原因還是調和平均數小于算數平均數。本質上，一個季度內，按季定投是隨機的單筆投資，而按月定投則是3次定期定額。同類，一個月內，按月定投是隨機的單筆投資，而按周定投則是4次的定期定額。一周內，按周定投是隨機的單筆投資，而按日定投則是5次的定期定額。

所以，在時間足夠長的情況下，購買頻次越大，購買的時間間隔越小，降低持倉均價的幅度越大。日定投成本<周定投成本<月定投成本<季定投成本。

3.投資標的的影響。不同投資標的區別主要有三個方面：流動性、收益性、波動性。流動性上，同樣頻率的基金定投基本沒有差別。收益性上，如果某個投資標的平均收益明顯較高，那么收益中0的部分就高，所以要選擇預期收益性高的標的。波動性上，在普通投資中通常我們會選擇波動率小，但這一點在定投中卻不同。

使用扣款2次的例子，說明波動性大小與降低持倉成本的關系。我們可以定義定期定額的降低持倉成本f（Δ），在2次購買下，那么這個函數就可以變成：

假設整體價格c1+c2不變，設x=|c1-c2|≥0，并對x求導，則有：

當c1+c2不變，設x=|c1-c2|，則x≥0，且f（Δ）x=2x≥0

|c1-c2|與f（Δ）是正向關系，兩次購買的價格差別越大，則定期定額降低持倉成本的幅度越大。

如果價格中有0，則會出現極值：

所以，。

但價格為0的情況并不存在，實際上，可以假定價格的波動有一定范圍c1+c2≤k1且|c1-c2|≥k2>0，則有：

所以，。通常降低持倉成本的幅度f（Δ）是會小于某個極值，而這個機制收到定投標的本身獨特的價格變化所影響。

以上是2次扣款的情況，那么對于多次購買如何呢？我們來看下4次扣款的情況，超額降低成本的函數如下：

上式中，第一個括號與2次扣款一樣，對|y1-y2|呈現單調向上；第二個括號中只需比較分母部分即可。

設x1=|c1-c2|，x2=|c3-c4|，k3=c1+c2，k4=c3+c4，則有

分別對x1x2求導，第二個括號部分分別與之呈現正相關。4個價格，兩兩之間差距越大（方差越大），則降低成本的幅度越大。如果價格波動有一定范圍，則相應的這種降低成本的效果也存在極值。

4次購買的分析過程可以衍生到多次，包括3次等奇數次數也可用相似方法證明，不再重復證明。

定投標的上，我們會選擇預期收益高，而波動幅度大的。

4.投資時間長度的影響。我們都知道定投要做的時間長一些，一方面因為更大的分母可以分攤價格的波動，另一方面則是因為隨著扣款次數的增加，通過定期定額降低持倉成本的幅度也在提升。

市場總會受到短期因素影響出現較大的上下波動，當定投的時間較短時，這種短期波動會對我們的持倉帶來顯著的影響。而拉長時間則能把短期的波動分攤掉，于是整體持倉價格和就會顯得平滑。

就降低持倉成本而言，拉長定投時間，相當于增加更多的買入價格，把c1、c2變成更多的c1、c2、c3…cn，我們定義定投n次的持倉成本為n，即，而同期的價格平均值為|n，即。

使用來定義平均情況下、定期定額比隨機單筆購買超額降低持倉成本的效果，Fn越大，則定期定額比單筆購買的降低成本的幅度越大。這種定義下，隨著定投次數的增加可以產生一組如下的數列：

我們對進行變形，可以得到：

數列是單調向上的。

如果對|求關于n的導數，可以得到：

即數列向上的增速遞減。

平均來看，隨著定投次數的增加，相對于隨機單筆投資，定期定額投資超額降低持倉成本的效果越來越好，但降低的幅度呈現邊際遞減。當隨機單筆投資的價格保持穩定的時，這種關系如下圖所示：

假設市場價格在后續的波動中不出現極端價格，我們會發現這種降低成本的能力會收斂于某個值（具體計算略過，可以嘗試假設，對，求極限），而收斂值受到標的特有的價格變化影響。

在投資時間長度的影響中我們知道內部報酬率近似等于單位時間的價差，隨著時間拉長，因為降低成本的邊際作用減弱，內部報酬率會逐漸走低。

（三）提高賣出的相對價格

賣基金比買更難。影響證券市場未來的走勢因素有很多，我們不能主動改變基金的賣出價，也很難選擇到絕對高點的賣出時機。相比之下，相對較高的賣出時機更容易選擇。

未來一段時間，基金的價格波動會有很多種可能，從而形成一種分布，設分布的中位數是P50%，那么當價格運行到Pi且Pi>P50%時，如果贖回基金，就能在平均水平之上的價格賣出，即選擇了相對較高的賣出時機。如果基金價格的波動具有歷史重復性，就可以使用歷史數據來確定這種分布，從而對比出某個時間價格是否相對較高。

實際上，基金的價格會有一種長期向上的趨勢，不能簡單類比歷史的價格數據。購買價和賣出價都是基金的幾個，會呈現同步的變化，所以我們可以近似的使用買賣價差Pt-0的分布Dis，來衡量賣出的時機是否相對較高。在降低持倉均價中我們知道，定期定額扣款次數越多，則降低持倉成本的幅度越大，所以不同扣款次數，分布Dis不一樣。在扣款次后，應該把實際買賣差價（Pi-0）i放在相同扣款次數的歷史分布Disi中進行比較，選擇相對較高的賣出時機，就是選擇定投收益相對較高的時機止盈。

（四）收益額最大化的策略

多數人投資的目標是在同一段時間內使收益總額最大化，如在收益額最大化中所述，僅就基金定投而言，需要考慮買入價、賣出價、買賣時差T與投資金額D=N×d。對于投資者而言，選擇什么樣的策略來最大化其定投的收益呢？

1.扣款金額不變（贖回后離場）。通常情況下，定期定額都是持續不斷的進行扣款，扣款的次數與買賣時差存在直接關系，即T=N×Δt，其中Δt是兩次扣款的時間間隔。

在既定的定投頻率下，如果每次扣款金額不變、即d不變，由收益額最大化中的等式可得：

使價差最大化，即可獲得最大的收益。這種情況并不考慮贖回資金的投資，其最好的定投策略，就是盡量提高扣款頻率，選擇波動大而預期收益高的基金標的，在堅持長期定投的同時選擇相對較高的收益時機賣出。（參閱降低持倉均價和提高賣出的相對價格）這項策略，適合兩類投資人，一類是把每次贖回的資金轉做其他用途的小夫妻；第二類，則是剛剛開始做定投，每月從工資中拿出固定比例參與定投的月光族或上班族。

2.扣款金額變化（贖回后再投資）。當我們贖回上一筆定投基金后，贖回的資金如何處理。如果不擇時投資，很可能會再次進行基金定投。贖回的資金加上既定的每次扣款額，必然使未來的扣款金額增加。扣款金額發生了變化，但是每次投資的總額則相對不變，可以假設每次贖回前的扣款總額D不變，由收益額最大化中的等式可得：

追求收益最大化，就是買賣價差最大，而相應定投的時間（或定投的次數）最少。

對于有財富積累的投資者，例如買股抄基者，從理財配置的角度，更希望能把計劃的投資總額全部投入，持續參與基金投資，及時中間止盈也能迅速將贖回的資金重新投入，從而實現總收益最大化。這種情況下，我們需要的不再是一次性選擇某個相對高點止盈，而是需要在一段時間內實現多次止盈將累計收益率最大，并且每次都能把主要的資金投入。

同樣是依據歷史的重復性，我們可以獲得一個的分布情況，找出最高時的（t-0）和N，就能對這種情況下進行一定的策略指導。比如我們預計未來以10%止盈可以平均5個月完成一次，而20%止盈則需要平均20個月完成，理想狀態下會選擇10%止盈、并將資金分5個月定投。但這是理想狀態，實際上每次獲得止盈收益的時間不會相同，在后面我們會將這項策略稍加調整，以便更容易實時。在操作中，可以選擇從12個月開始即進行實際收益率與同期限歷史收益水平的對比。

（五）定期定額內部回報率最大化的策略

在內部回報率最大化中，我們得到內部回報率的近似值，與扣款金額變化一樣，都是在追求單位時間買賣價差的最大化，這里不再展開。

作者簡介：季恒（1988-），男，河南信陽人，理財規劃師，對外經濟貿易大學經濟學實驗班09屆，大學本科，任職于北京京東金融科技控股有限公司，研究方向：理財規劃與投資策略分析。