淺談數學建模在小學數學教學的實踐

李孝輝

(四川師范大學 四川 成都 610000)

淺談數學建模在小學數學教學的實踐

李孝輝

(四川師范大學 四川 成都 610000)

數學是一門最基本的自然學科，數學的模型思想作為2011年版義務教育數學課程標準中新出現的數學思想之一。本論文以人教版小學數學(2013版)五年級上冊“數學廣角——植樹問題”教學為例，簡單闡述了數學建模在小學數學教學中的一般過程包括：準備、假設、建立、解釋、運用數學模型，強調數學建模在教學中的重要作用。

數學建模；小學數學；數學模型；教學

1 引言

數學建模是建立數學模型并運用它解決數學問題這一過程的簡稱[1]。數學是一門最基礎的自然學科，數學的模型思想作為2011年版義務教育數學課程標準中新出現的數學思想之一，尤其應當提起小學數學教師的重視。在小學數學教學過程中，數學建模更多地是指使用數學建模的思想和精神來指導小學數學教學，不斷讓小學生從具體事件或現實原型出發，逐步抽象、概括并建立某種模型，并進行解釋和運用，從而加深對數學的理解和感受，提升數學學習能力。

以人民教育出版社出版的義務教育教科書小學數學(2013版)五年級上冊的“數學廣角——植樹問題”教學為例，試談小學數學教學中滲透數學建模的初步嘗試。

2 概念界定

2.1 模型

百度百科這樣解釋模型，通過主觀意識借助實體或者虛擬表現、構成客觀闡述形態、結構的一種表達目的的物件(物件并不等于物體，不局限于實體與虛擬、不限于平面與立體)。

2.2 數學模型

目前在我國對數學模型還沒有一個十分權威的定義，但比較一致的認識是：數學模型是對現實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學模擬。

簡言之，數學模型就是用數學語言描述的一類模型。數學模型可以是一個或一組代數方程、微分方程、差分方程、積分方程或統計學方程，也可以是它們的某種適當的組合，通過這些方程定量地或定性地描述系統各變量之間的相互關系或因果關系。數學模型一般是用數學語言、符號、數量關系或圖形來呈現的，具有精確性、直觀性、簡潔性等特點。在小學階段，主要表現為：數學概念、公式、定義、定理、法則等。如關于三角形(2013版人教版小學數學四年級下冊)這一數學模型則是由數學語言結合圖形兩種呈現方式來呈現的，數學語言描述具體為“由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形。”同時也是數學概念的表現形式；如加法交換律(2013版人教版小學數學四年級下冊)這一數學模型，教科書上同時用了多種形式來呈現這一模型，用數學語言來描述為“兩個數相加，交換加數的位置，和不變”，“甲數+乙數=乙數+甲數”，是數學語言模型，“▲+★=★+▲”，就轉化為了符號模型，“ɑ+b=b+ɑ”，則是字母模型。

2.3 數學建模

從現有資料來看，對于“小學數學建模”這詞尚無確切定義，一般認為數學建模利用數學語言、符號等建立數學模型這一過程。就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數學模型。數學建模是一個經歷觀察、思考、歸類、抽象與總結的過程，也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個思想與方法的產生與選擇的過程。

3 數學建模在小學數學教學的過程

從數學建模的概念中可以發現數學建模一般是指解決實際問題，要求學生能把實際問題歸納或抽象成數學模型加以解決。我們認為：小學數學建模是指學生在教師預設的與學習課本知識有關的生活情境中，通過一定的數學活動準備數學模型、假設數學模型、建立數學模型、 解釋數學模型和應用數學模型，并以此為載體學習小學數學相關知識。可以這樣講，只要有數學應用的地方，就有數學建模。

3.1 準備數學模型

了解小學數學問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰準確。

在“數學廣角——植樹問題”這一課例1中，教科書呈現了一段數學語言文字并配了一幅圖。數學語言文字描述到“同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共要栽多少棵樹？”而插圖內容為：4個同學在一棟建筑旁邊隔著一定距離在植樹。明確題目關鍵信息：總長是100米，只在小路一邊植樹，兩端要栽，每隔5米栽一棵即間距為5米。創設教學情境：1個同學代表1棵樹，第一次在皮尺0刻度、5米刻度、10米刻度各站立1名同學；第二次遞增到20米；第三次遞增到50米。此時教學過程可以這樣進行：

通過計數，請同學回答，總長10米時，間隔5米植樹，道路只有一邊栽樹時，兩端要栽的前提下，

問：有幾個間隔？

答：有兩個間隔。

問：栽了多少棵樹？

答：栽了3棵樹。

問：間隔數與總長、間距之間的關系是什么？

答：間隔數等于總長除以間距。

問：棵數與間隔數的數量關系是什么？

答：棵數比間隔的數量多1。

只有學生身臨其境，切身體會到題目所表達的實際含義，學生才能用整體的思維把握整個過程。

3.2 假設數學模型

根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

根據建模準備，我們可以提出這樣的假設1：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數等于總長除以間距。假設2：道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數比間隔數多1。在題目條件不變的情況下，變化總長進行驗證。學生繼續回答20米呢？通過計數，學生容易發現：總長20米時，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有4個間隔，間隔數等于總長除以間距，栽了5棵樹，棵數比間隔的數量多1。50米呢？通過計數，學生也容易發現：總長50米時，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有10個間隔，間隔數等于總長除以間距，栽了11棵樹，棵數比間隔的數量多1。通過驗證，得出假設正確。

3.3 建立數學模型

在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構(盡量用簡單的數學工具)。

通過準備過程、假設及驗證過程，我們建立這樣的數學模型：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數等于總長除以間距，數量關系式：間隔數=總長÷間距。道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數比間隔數多1，數量關系式：棵數=間隔數+1。

3.4 解釋數學模型

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析與解釋。在上題中，通過題干信息，能夠很容易得出信息：同學們在小路的一邊植樹，小路總長100米，每隔5米栽一棵，也就是說一棵樹與它相鄰最近的一顆樹的距離為5米，即間距為5米，小路兩端要栽，問題是一共要栽多少棵樹。根據除法的意義，很容易得出這樣的結論：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數等于總長除以間距，即間隔數=總長÷間距。再分析栽樹要求，小路一邊栽樹，兩端要栽樹，得出棵樹比間隔數多1，即棵數=間隔數+1。綜上所述，道路一邊植樹(兩端要栽)的數學模型：棵數=總長÷間距+1。

3.5 應用數學模型

建立數學模型是為了更好地應用數學模型解決數學問題。數學模型的應用，包括兩個方面：數學本身的應用(練習)和數學之外的應用(解決具體問題)[2]。為了加強學生數學應用意識和數學素養，應該加強數學之外應用的教學[3]。在此僅簡單舉例說明數學本身的應用(練習)。在教科書“數學廣角——植樹問題”練習題部分，編者設置了過手練習題，即“工人們正在架設電線桿，相鄰兩根間的距離是200米。在總長3000米的筆直路上，一共要架設多少根電線桿(兩端都架設)？”通過閱讀題目數學語言文字信息，得到：道路一側架設電線桿相當于小路一邊植樹，兩端都架設相當于兩端要栽，間距200米，總長3000米，問題為一共要架設多少根電線桿。根據數學模型間隔數=總長÷間距，得出間隔數=3000÷200=15，在根據數學模型棵數=間隔數+1，得出電線桿總數=15+1=16(根)。或者直接根據道路一邊植樹(兩端要栽)的數學模型：棵數=總長÷間距+1，得出電線桿總數=3000÷200+1=16(根)。

4 總結

九年義務教育數學教學大綱明確規定：“要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練”“形成用數學的意識”。在教學中，一線教師經常看到有些學生遇到一個實際問題，無從下手的情況。當我們把這個問題化為數學模型，用數學語言進行表達后，尤其是數學公式表現時，學生馬上就會解了。可見，建立適當的數學模型，是利用數學解決數學問題的前提。解決實際問題，特別是綜合性較強的實際問題的過程，實際上就是建立數學模型的過程。在教學中解決實際問題時，要注意引導學生觀察、分析、抽象、概括為數學模型，培養學生的建模能力。

數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好問題啟發，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索，努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神、形成一個生動活潑的環境和氣氛，教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數學素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。

[1] 孫丹. 淺談小學數學教學中滲透建模思想的策略與意義[J]. 新課程研究:教師教育, 2011(11):28-29.

[2] 袁明紅. 小學數學的"數學建模"教學策略[J]. 考試周刊, 2015(39):68-68.

[3] 項仁訓，沈本領.問題—建模—應用——構建小學數學課堂教學模式的探索[J].江蘇教育，1999，( 6)：36- 37.

李孝輝(1988-)，女，漢族，四川內江人，碩士，四川師范大學，小學教育。

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1672-5832(2016)06-0104-02