基于ARIMA模型的澳門本地生產總值未來走勢預測

澳門科技大學商學院 莫文權 李坤達 王尚

基于ARIMA模型的澳門本地生產總值未來走勢預測

澳門科技大學商學院 莫文權 李坤達 王尚

澳門賭收持續下跌已經有一年多了，經濟前景的不明朗，對各行業的負面影響開始浮現。在種種不利因素的影響下，澳門政府需及時調整相對應的宏觀經濟策略，制定正確的經濟發展策略，有效地預測并分析澳門未來GDP走勢的整體情況。本文基于時間序列的分析方法對澳門本地生產值總值(GDP)進行建模分析，選擇最佳的ARIMA模型對資料進行擬合。通過一系列的實證分析，結果表明ARIMA模型能夠有效地預測澳門GDP的走勢狀況。

ARIMA模型 時間序列分析 澳門本地生產總值

1 模型的應用

1.1 ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型介紹

對于包含趨勢性的原序列，可用ARIMA(p,d,q)模型進行擬合，稱之為自回歸求積移動平均模型。若序列同時包含趨勢性及季節性，則可使用ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型進行擬合，稱之為季節自回歸求積移動平均模型。該回歸模型和ARIMA(p,d,q)模型類似，兩者的主要區別是對于ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型我們不但需要對原始的時間序列做d階差分，而且還需要做D階的季節性差分，以此來消除原始序列存在的季節性。由于澳門本地生產總值季度資料同時存在趨勢性及季節性，所以，本文將采用ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型對原始時間序列進行擬合，該模型的數學運算式如下為隨機項。

1.2 預測及預測評價

采用歷史類比的方法來評價模型的有效性。通過使用部分歷史資料建立擬合模型，再用模型對剩下的另一部分的歷史資料進行預測，通過比較分析實際的歷史資料和通過模型計算出的預測資料來評價模型在預測水準上的有效性。具體使用如下的指標檢驗模型預測的有效性。

第一，平均相對誤差絕對值(MAPE)：

第二，Theil不相等系數：

Theil不等系數可分解為偏倚比例(Basic Proportion)、方差比例(Variance Proportion)和協方差比例(Covariance Proportion)三部分

如果預測模型是有效精準的，各項指標則滿足以下情況：平均相對誤差的絕對值較小；U值接近于零；偏倚比例和方差比例較小；協方差比例較大。

2 實證分析

本文的資料來源于澳門統計暨普查局公布的澳門本地生產總值的季度資料，時間跨度為2001第一季度年至2015年第四季度。本文將澳門本地生產總值的季度數據簡記為GDP序列，以百萬元為單位。圖1是2001年第一季度至2015年第四季度的GDP本地生產總值折線圖，本地生產總值存在明顯的增長趨勢及包含周期為四個季度的季節性變動。同時由原始GDP序列的相關圖可得，自相關系數直至滯后期數為k=15時依然顯著，表現拖尾；偏自相關系數則在滯后期數為k=1時截尾，說明原始GDP序列是非平穩的時間序列。

圖1 澳門季度本地GDP折線圖

為了消除原始GDP序列存在的趨勢性，并減少數據的波動，筆者對原始序列做自然對數變化處理，形成新的對數序列名lngdp，再進行一階差分，差分后序列名為dlgdp。差分后序列的增長趨勢基本被消除，但當滯后階數k=4時，樣本的自相關系數和偏自相關系數均顯著不為零，表明原始序列存在一定的季節性。需要對序列dlgdp做季節性差分，得到新序列名sdlgdp。

經過兩次差分后，原始GDP樣本序列的自相關系數和偏自相關系數均變為較小，并在零值附近上下波動，大部分值落在置信限內。但在滯后期k=4時，自相關系數和偏自相關系數依然較大且均落在置信限外，表明經過一階季節差分后，序列仍然存在季節性。經過繼續試驗，本文對序列進行二階的季節差分，發現二階的季節差分未能進一步地消除序列依然存在的季節性，所以本文做一階的季節差分即可。

2.1 序列零均值檢驗及平穩性檢驗

建立ARIMA模型的重要前提是序列sdlngdp的均值為零，所以，我們需要對序列進行零均值檢驗。計算結果顯示序列的均值落在的范圍內，說明序列的均值為零，序列通過零均值檢驗。接著使用ADF的檢驗方法對序列進行單位根檢驗，檢驗的結果顯示，在95%的置信水平下計算的統計量為-3.495，大于-8.1489的ADF臨界值，說明序列經過差分處理后已成為平穩的時間序列，可建立ARIMA模型。

2.2 ARIMA模型的識別

原始GDP序列即存在增長趨勢同時也存在季節性，因此本文選擇建立ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型，稱為季節自回歸移動平均模型。由上文可知原始序列經過一階差分后，序列存在的增長趨勢已被消除；另外經過一階的季節性差分，序列的季節性問題也得到了改善，故確定季節差分的階數為D=1。序列sdlngdp的自相關函數和偏自相關函數均是截尾，且均在滯后期為k=2時出現截尾，故設定自回歸的滯后階數為p=2或者p=3比較合適；同時設定移動平均的滯后階數為q=2。又因為原始序列存在季節性問題，且季節波動的周期為四個季度，所以ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型的季節自回歸和季節移動平均的滯后階數為P=Q=1。為了進一步得到擬合度及預測精準度較高的回歸模型，本文分別建立ARIMA(2,1,2)(1,1,1)4模型和ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型，并根據兩者比較的檢驗結果，選擇建立滯后階數最佳的ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型。

2.3 模型的建立及檢驗

經過上述分析比較，本文分別建立ARIMA(2,1,2)(1,1,1)4和ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型，并比較模型回歸的檢驗結果，如表1所示。

表1 兩個ARIMA模型的檢驗結果

根據回歸結果顯示，兩模型各滯后多項式的倒數根均落在單位圓以內，說明ARIMA(2,1,2)(1,1,1)4和ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型的回歸過程是平穩、可逆的，兩模型設定均合理。進而通過表4比較兩ARIMA模型的回歸檢驗結果，表1顯示ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型的SCI值和SC值均最小的,殘差平方和也為最小；同時注意到ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型修正后的擬合度也比ARIMA(2,1,2) (1,1,1)4模型的大，相比之下ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型各方面均最優，所以選擇建立最佳的ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型，其回歸結果如表2所示。

表2 ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型回歸結果

回歸模型的表達式如下：

2.4 模型預測

利用擬合精度較高的ARIMA(3,1,2)(1,1,1)4模型，首先對2015年第一季度到第四季度的澳門本地GDP進行預測，然后和2015年實際的季度GDP進行比較得出誤差百分比。緊接著再對澳門2016年四個季度的本地生產總值進行有效預測。

表3 ARIMA(3,1,2)(1,1,1)42015年第一季度到第四季度GDP的實際值和預測值比較

表4 ARIMA(3,1,2)(1,1,1)42016年第一季度到第四季度GDP的預測值

由表3可得，在ARIMI(3,1,2)(1,1,1)4模型計算出的2015年第一季度到第四季度澳門本地GDP的預測值和實際值的比較中，誤差百分比均較小，均控制在8%以內。平均相對誤差(MAPE)約為4.97%，Theil不等系數值為0.0286，接近于零。模型的偏倚比例、方差比例和協方差比例分別為0.5394、0.00229、0.4582，這都說明了模型對未來澳門本地生產總值的預測值符合實際的情況，模型能夠進行可靠的預測。進而由表4可得，該模型預測2016年第一季度到第四季度的本地生產總值，這些預測值在一定程度上代表了澳門本地生產總值的未來走勢，為澳門政府根據預測的經濟走勢狀況來制定相對應的貨幣及財政決策提供一定的借鑒意義。進一步討論，將2016年四個季度的預測值相加得出2016年度本地GDP的總值約為36117379萬元，與2015年實際的年度GDP總值36872750萬元相比，澳門2016年的經濟總量將會下降約2.048%，大約為750億元左右。

3 結語

澳門本地生產總值季度資料GDP序列為非平穩的時間序列，是一組依賴于時間t的隨機變數,在消除序列的異方差性、趨勢性及季節性后，通過建模回歸分析比較后，建立最佳的 ARIMI(3,1,2) (1,1,1)4模型。經過實證分析結果顯示，該模型的相對誤差百分比在1.80%～7.90%之間，預測精度較高，可用于澳門本地生產總值的短期預測。根據預測的結果顯示，2016年澳門年度本地生產總值將約為361173.79百萬元，同比下降2.048%，預測今年澳門的經濟狀況將會繼續下滑。

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2096-0298(2016)08(a)-099-02