數學歸納法及其拓展

詹妍

摘 要：數學歸納法是數學證明中的重要而有力的工具，通常用于建立一個給定正整數集的命題，而根據應用的需求，數學歸納法有了許多形式的拓展，不僅從正整數集上初始條件、跳躍臺階進行拓展，還進行了適用數集的拓展，從正整數集到良序集，再到實數集；使之成為數學各個分支的重要證明手段.

關鍵詞：良序集 超限歸納法 連續歸納法 集合思想

一、超限歸納法

中學常用的數學歸納法都是建立在正整數集上，隨著康托爾在 1897年建立了集合論基礎，而后對于良序集的特別理論，在此基礎上將數學歸納法擴展為超限歸納法，也稱為超窮歸納法.

（一）良序集的定義

定義 1設 S是一個集合， ≤是 S中一個二元關系滿足：

（i）對任何 x∈S有 x≤x；

（ii）對任何 x，y∈S若有 x≤y，且 y≤x，則 x=y；

（iii）對任何 x，y，z∈S若有 x≤y，且 y≤z，則 x≤z；

（iv）對任何 x，y∈S均有 x≤y或 y≤x，則稱≤為 S中的一個全序，（S，≤）稱為一個全序集. 定義 2設 A是一個全序集，若 A的任何非空子集都有昀

小元，則稱 A是良序集.

例：正整數集 N*是良序集.設 M是 N*的任意一個非空子集，任取一個數 m∈M，則 M中小于或等于 m的數不多于 m個，即有有限個，故存在一個昀小數 m0.

（二）超限歸納法及其原理

定理 1設（S，≤）是一個非空良序集，P（x）是與元素 x∈S有關的一個命題，如果：

（i）對于 S中的昀小元 a0，P（a0）成立；

（ii）假定對任何 x

立，則 P（x）對任何 x∈S都成立.

（m）不成立 .由（i）知 P（a0）成立，則 m>a0，則對于任意

）m（p）得ii）成立，由（t（P，則Σ.

t，有）t

成立，與 m∈Σ相矛盾，故 Σ=..

二、連續歸納法

數學歸納法和超限歸納法是對 “離散”的無窮數集做出判斷的嚴格的數學方法，對于連續情形，直到 20世紀 80年代，張景中發現有一個十分簡單而又便于掌握與應用的關于實數的歸納法，稱為連續歸納法.

定理 2（關于實數的連續歸納法）設 P（x）是關于實數的一個命題，如果：

（i）有 a，當 I中的 x

（ii）如果對所有小于 y的 x，P（x）成立，則有 I中的

z>y，使得對所有小于 z的 x，P（x）成立；則對所有實數 x，P（x）成立. 定理 3（實數開區間上的連續歸納法）設 I是開區間，P

（x）是關于實數 x∈I的一個命題，如果：

（i）有 a∈I，當 I中的 x

（ii）如果對所有小于 y的 x∈I，P（x）成立，則有 I

中的 z>y，使得對所有小于 z的 x∈I，P（x）成立；

則對所有 x∈I，P（x）成立.

證：

（法 1）設開區間 I為（a，b），構造 X=

，其中，是使命題 P（x）成立的開區間，證明 X=（a，b）.

（法 2）證明一個適用于任意有序集的一般歸納原理，從中取有序集 I為開區間（ a，b），導出實數區間上的連續歸納法，再取 I為（-∞，+∞）時，就得到關于實數的連續歸納法，即定理 4.

對于實數閉區間的情形連續歸納法同樣成立，有趙文靜給出的關于實數的第二連續歸納法.

定理 4（實數閉區間上的連續歸納法）設 I是閉區間[a，

b]，P（x）是關于實數 x∈I的一個命題，如果：

（i）有 x0∈I，當 I中的 a≤x≤x0時，P（x）成立；

（ii）如果對所有小于等于 y的 x∈I，P（x）成立，則有

I中的 z≥y，使得對所有小于等于 z的 x∈I，P（x）成立；

則對所有 x∈I，P（x）成立.

證：構造一個實數 x的命題 P（x）*，使得在 x∈[a，b]時，P（x）*仍為 P（x），而當 xb時，P（x）*：x=x.根據定理 4可證明 P（x）*對一切實數成立，從而證明本定理成立.

在實際應用的過程中，還衍生出了其他形式的連續歸納法. 定理 5（絕對值形式的連續歸納法）設 P（x）是一個涉及實數 x的命題，如果：

（1）有某個 x0>0，使對一切|x|

（2）若對一切|x|0）有 P（x）成立，則有 z>y，

使得 P（x）對一切 |x|

則對一切實數 x，P（x）成立.

證：證集合 Σ={x|p（x）不成立 }=..

定理 6（“擴張”形式的連續歸納法）設 P（x）是定義在

（a，b）內的命題函數，如果

證：采用集合論的思想進行證明.設集合

，}a0≥S|x∈{x.

}不成立）x（P且

，a0∈（x，使對一切的）b，a（.

）b0，a0）有某個（l（a≥S|x

b0）有 P（x）成立；

）成立，x（P）有b，a（.

）bl，al∈（x）若對一切2（.

）2b，2a∈（x，使一切l>b2b，l

下證 Σ=..用反證法，若 Σ≠.，

由良序集必有昀小元知 Σ中有昀小元 m，滿足 m≥a0，且 P

（a，b）有 P（x）

成立.

那么對一切 x∈（a，b）有 P（x）成立.

證：證集合 Σ={x∈（a，b）|p（x）不成立}=..

應用連續歸納法，可以證明連續函數的確界存在定理、區間套定理、有限覆蓋定理、有界性定理、介值定理、昀大值定理等重要定理.

三、結語

本文歸納整理了數學歸納法各種形式的推廣，對證明方法進行了簡單的敘述，數學歸納法是數學證明中的重要而有力的工具，從正整數集到良序集，再到實數集，都有著各自的形式并得到了廣泛的應用，為數學證明提供了一種新思路，甚至可以使原本復雜的證明變得簡便.

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