電梯系統垂直振動的頻率敏感度分析與魯棒設計

馮文周， 曹樹謙， 胡 鋮

(1.天津大學機械工程學院 天津，300072) (2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室 天津，300072) (3.大連理工大學機械工程學院 大連，116024)

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電梯系統垂直振動的頻率敏感度分析與魯棒設計

馮文周1，2， 曹樹謙1，2， 胡 鋮3

(1.天津大學機械工程學院 天津，300072) (2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室 天津，300072) (3.大連理工大學機械工程學院 大連，116024)

考慮曳引繩剛度在電梯運行過程中具有變剛度的特性，利用Lagrange方程對電梯系統建立了7自由度的振動微分方程，通過試驗設計方法得出隨機變量與系統頻率響應的數值關系，利用人工神經網絡技術獲得隨機變量與頻率響應之間的顯性函數關系式。根據激振頻率與固有頻率之比不超過規定值的關系準則，定義了電梯系統縱向振動的可靠性模式，運用頻率可靠性分析方法，提出多頻激勵情況下的系統的頻率可靠性及其敏感度的分析方法。在此基礎上，結合可靠性敏感度理論與穩健設計方法，將可靠性敏感度融入到目標優化設計中，建立系統頻率可靠性魯棒設計模型。通過工程算例，將可靠性敏感度理論和穩健設計方法應用到電梯系統設計當中，得到滿足魯棒設計要求的隨機參數值。結果表明，該方法具有較高的計算效率和求解精度，可以作為電梯系統穩健設計的理論依據。

電梯系統； 頻率共振； 神經網絡； 頻率可靠性敏感度； 魯棒設計

引 言

電梯作為機電產品的一個有機體，其振動特性受到機-電兩方面因素的影響，其動態特性較為復雜[1-3]。由于各部件的加工精度和安裝誤差等因素，電梯系統在運行過程中存在多個激振力。當激振力的頻率與電梯系統的某階固有頻率較近時，會導致電梯系統共振，引起轎廂振動強烈，嚴重影響電梯運行質量。電梯由設計不當而導致系統共振，是電梯振動超標的主要原因之一。目前，國內外學者對于電梯系統振動特性的理論研究也取得了一些成果[4-7],但對電梯系統可靠性敏感度分析和可靠性穩健設計方面的研究較少。通過可靠性敏感度分析得到系統設計參數的變化對系統可靠度的敏感度，基于可靠性敏感度的分析對系統進行可靠性魯棒設計，可以使系統具有較高的可靠度和魯棒性，以達到穩健設計的目的。

筆者在頻率可靠性研究的基礎上[8-11]，定義了多頻激勵條件下的共振失效模式，給出了在串聯系統共振失效模式的可靠度和可靠性敏感度計算方法。將可靠性敏感度理論與穩健設計方法相結合，針對工程實例，對電梯系統頻率可靠性敏感度分析和穩健設計進行了研究。

1 電梯系統縱向振動微分方程

電梯的機械系統主要由轎廂、對重、懸掛裝置、曳引機和曳引繩等子系統組成。本研究對象為無機房曳引式電梯，將其等效為7自由度的動力學模型，如圖1所示。模型中：m1，m2，m3和m4分別為對重裝置、曳引機、轎廂反繩輪和轎廂的等效質量；J1，r1分別為對重反繩輪的轉動慣量和回轉半徑；J2，r2分別為曳引輪的轉動慣量和回轉半徑；J3，r3分別為轎廂側反繩輪的轉動慣量和回轉半徑；k1，c1分別為對重側繩頭彈簧的剛度和阻尼；k2，c2分別為曳引機隔振墊的等效剛度和阻尼；k3，c3分別為轎廂側繩頭彈簧的剛度和阻尼；k4，c4分別為轎廂與反繩輪之間隔振墊的剛度和阻尼；k5，k5*，c5和c5*分別為對重兩側曳引繩的等效剛度和阻尼；k6，k6*，c6和c6*分別為轎廂兩側曳引繩的等效剛度和阻尼。

圖1 電梯系統動力學模型Fig.1 Dynamics model of elevator system

根據Lagrange方程得到系統的振動微分方程為

(1)

T，U分別為

(2)

(3)

其中：x1，x2，x3，x4分別為m1，m2，m3，m4的線位移，

垂直向上為正；θ1，θ2，θ3分別為m1，m2，m3的角位移，逆時針方向轉動為正；k5，k5*，k6，k6*的剛度與轎廂所處的位置有關；k11，c11分別為對重左側曳引繩與繩頭彈簧的的串聯剛度和阻尼；k33，c33為轎廂右側曳引繩與繩頭彈簧的串聯剛度和串聯阻尼。

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：N，E，A分別為曳引繩的個數、彈性模量和截面面積；H為提升高度。

將式(2)～(7)代入式(1)，得到系統振動的微分方程,寫成矩陣形式為

(8)

其中：X={x1, x2, x3, x4, θ1,θ2,θ3}T為系統的位移向量；M，K，C分別為系統的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。

2 電梯系統共振的可靠性分析

由離散結構體組成的系統發生共振時，各結構體的振幅均達到最大。當結構體的振幅超過檻值，則結構系統處于失效狀態或準失效狀態。根據激振頻率與系統固有頻率的關系準則，定義電梯系統共振失效的狀態函數為

(9)

其中：fi為系統的激振頻率；f1，f2分別為由曳引機驅動輪、轎廂反繩輪產生的激振頻率；ωj為系統的j階固有頻率。

根據激振頻率和系統固有頻率的關系準則，可以確定結構發生共振失效的極限狀態函數。

(10)

其中：λ為一特定的值，工程上一般取10%～15%。

(11)

一般情況下，系統結構的隨機參數分布服從某種類型。如果想精確獲得系統隨機參數的實際分布類型，就需要大量的試驗數據進行統計學分析，這給分析帶來了困難。在工程實際中，隨機變量以正態分布最為典型，這也是在工程分析中首選的分布類型。假定系統隨機參數服從正態分布，則系統共振失效的概率為

(12)

其中：Φ(·)為標準的正態分布。

μgij和σgij分別為gij的均值和標準差，即

(13)

(14)

可靠性指標βuv1，βuv2定義為

(15)

(16)

3 串聯系統可靠性敏感度分析

考慮到電梯系統具有多階固有頻率、多個激振頻率的特點，當激振頻率落在某階固有頻率的共振區間時，會使整個系統發生共振。因此，含有多頻激勵的系統頻率可靠性模型為串聯系統。依據串聯系統的可靠性分析理論[9]，得到系統的失效概率。

(17)

(18)

其中：R為串聯系統的可靠度。

通過對系統失效狀態進行敏感度分析，得到影響系統失效的敏感因子。通過修改系統的設計參數來改變系統的固有頻率，使其遠離激振頻率以避開共振區。根據可靠性敏感度的定義，可靠度R對設計參數bs的均值敏感度和方差敏感度分別為

(21)

(22)

其中：σs，Var(bs)分別為基本隨機變量bs的標準差和方差；R*為系統的可靠度。

4 共振問題的可靠性魯棒設計

魯棒設計是指允許產品的設計變量和控制容差在一定范圍內波動，仍能保證產品具有較高的可靠度和穩定性，即能夠抵抗一定程度非預期隨機因素的干擾。因此在優化設計的基礎上，結合系統結構的可靠度要求，以可靠性指標作為約束條件，將隨機變量的敏感度融合到目標函數中，將可靠性魯棒設計歸結為求解多目標函數的優化設計問題。當隨機動態結構系統受到某一激振力時，激振力的頻率不同，強迫振動的振幅也隨之不同。為了滿足系統的穩健要求，即要求隨機系統的固有頻率遠離系統的激振頻率，避開共振區，從而保證系統安全可靠運行。隨機系統的頻率可靠性魯棒設計模型表示為

5 實例分析

5.1 模態

以某樣梯為研究對象，額定載重為1 150 kg，轎廂速度為1.7 m/s，提升高度為42 m。曳引機轉速為492 r/min，反繩輪的轉速為223 r/min，激振頻率分別為f1=7.96 Hz，f2=3.625 Hz。其他主要部件結構參數如表1所示。

現有的合規管理制度僅對商務行為的合規管理，即“狹義”合規管理進行了約束，對非商務行為的合規管理，即“廣義”合規管理沒有明確的要求；對合規風險評估、合規審查、合規評價等管理內容也沒有細化；對重要風險領域，如“禮品和款待”“商業伙伴合作”也沒有具體的行為準則。同時企業規章制度執行不到位，未能做到有制度必依。真正落實的時候卻大打折扣，從而有章不循、不按制度辦事、違章操作、違反規定等現象時有發生，使得有的規章制度成了擺設。

表1 電梯系統動力參數

根據式(1)～(9)對電梯系統縱向振動進行模態分析，得到系統各階頻率與轎廂位移x4變化曲線，如圖2所示?？梢钥闯觯到y頻率ω1在3.195～3.295之間，可見ω1與轎廂位移x4關系不大，2階頻率在9.31～11.68之間變化，其他高階頻率與轎廂位置較為敏感。由激振頻率與系統固有頻率的關系可知，激振頻率f1與ω2共振區接近，易發生共振。激振頻率f2落在系統1階固有頻率的共振區內，代入式(9)～(11)，λ取0.15，系統失效概率Pf=1，即系統發生共振。

圖2 系統各階固有頻率變化曲線Fig.2 Variable cures of system natural frequencies

5.2 試驗結果

如圖3所示，利用電梯乘運質量檢測工具PMT對轎廂振動進行測試。發現轎廂的縱向振動比較強烈，最大峰峰值為17.1mg。選擇恒速階段進行頻譜分析，如圖4所示?？梢姡I廂振動主要是在3.625 Hz引起的，該頻譜與轎廂反繩輪轉動頻率相對應。結合系統模態分析可知，轎廂反繩輪激振頻率與系統一階頻率發生共振，表明理論分析與試驗結果吻合，證明所建振動模型是合理的。

圖3 轎廂振動時間歷程Fig.3 Time domain plot of car vibration

圖4 轎廂縱向振動幅頻曲線Fig.4 Amplitude frequency curve of longitudinal vibration

5.3 敏感度

根據電梯系統的敏感度分析可以得出系統設計變量與系統固有頻率的敏感順序。本系統選取參數k1，k2，k3和k4作為系統的隨機變量，剛度變量的分布情況在均值上下±10%范圍內變化，且服從正態分布。求解振動微分方程只能得到隨機變量與系統頻率響應的數值解，不能得到b={k1,k2,k3,k4}T與固有頻率f1的顯性函數表達式。因此，筆者采用優化軟件Isight進行試驗設計，通過集成Matlab編制的程序進行超立方拉丁試驗分析。將隨機變量b={k1,k2,k3,k4}T抽樣81次，作為BP神經網絡訓練的樣本，將每次分析的結果作為BP神經網絡的響應值。通過神經網絡訓練，擬合得到隨機變量與ω2之間的顯性函數關系式。由圖5可知，經過119次訓練，神經網絡模型精度可達到10-6。

圖5 BP神經網絡訓練誤差Fig.5 BP neural network training error

如圖6所示，為了確保神經網絡擬合函數的準確性，對隨機參數按照正交試驗方法抽樣16次進行驗證，并與Matlab編制的振動微分方程求得的理論值進行比較，證明了神經網絡模型的可靠性。

圖6 均值處隨機樣本模擬檢驗圖Fig.6 Random sampling simulation test in mean

將神經網絡擬合后的函數代入式(9)～(17)，得到系統的準失效概率Pf=1，由此可知該系統已發生共振失效。代入式(18)～(21)對其進行敏感度分析，得到可靠度對隨機變量均值和方差的敏感度為

5.4 穩健設計

為了達到減少共振發生的風險和系統設計變量在誤差范圍內變化對系統共振不敏感、滿足系統穩健的要求，通過修改設計變量來改變系統共振區間，以達到遠離激振頻率。式(20)取3個目標函數

建立約束條件

優化后各隨機變量的均值為k1*=490 080, k2*=9 986 000, k3*=819 900, k4*=2 804 200。將優化后的隨機參數代入式(9)～(21)，系統可靠度為R*=0.999 964 89,均值、方差的敏感度為

通過優化前后可以看出系統具有較高的可靠度，隨機變量的敏感度也大大降低，滿足穩健設計的要求。

5.5 穩健設計后試驗結果

從圖7可知，轎廂的縱向振動明顯減低，最大峰峰值由17.1 mg降低到6.9 mg。如圖8所示，對恒速階段進行頻譜分析，3.625 Hz頻率的幅值由1.836 mg降低到0.424 1 mg。其他頻率的振動也大大降低，從而使系統振動滿足要求。

圖7 轎廂垂直振動時間歷程Fig.7 Time domain plot of car vibration in vertical direction

圖8 穩健設計后的轎廂縱向振動幅頻曲線Fig.8 Amplitude frequency curve of longitudinal vibration by robust design

6 結 論

1) 考慮電梯曳引繩在運動過程中的變剛度特性，對電梯系統建立了7自由度振動微分方程，得到系統各階固有頻率與轎廂位移的變化曲線。結果顯示，低階固有頻率與轎廂位置變化影響不大，高階頻率與轎廂位置變化敏感。

2) 對電梯系統動力學模型進行模態分析，指出曳引機的激振頻率與系統固有頻率較近，容易發生共振。結合系統實際振動測試，得到系統垂直振動超標，表明系統激振頻率與固有頻率較近發生共振。

3) 在頻率可靠性敏感度分析的基礎上，對系統進行可靠性穩健設計。結果表明，通過修改設計變量可以使系統達到可靠度的要求，同時滿足穩健設計的要求。

4) 對振動微分方程進行數值分析，利用集成優化工具Isight對系統結構隨機變量和響應進行試驗設計。借助人工神經網絡擬合函數的優勢，得到隨機變量與系統響應的解析方程。結合可靠性敏感度技術與穩健設計理論，對隨機結構系統進行敏感度分析和穩健設計。該方法具有較高的計算效率和求解精度，可以作為隨機結構可靠性靈敏度分析和穩健設計的一種有效方法。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.003

國家自然科學基金資助項目(51305071)

2014-06-12；

2014-09-03

TB123； TH113

馮文周，男，1983年4月生，博士生、工程師。主要研究方向為振動理論與控制，機械可靠性設計。

E-mail: wzfeng@tju.edu.cn

簡介：曹樹謙，男，1964年7月生，博士、教授、博士生導師。主要研究方向為非線性動力學，振動理論與控制。

E-mail: sqcao@tju.edu.cn