基于頻域法的隨機振動疲勞加速試驗設計

張 方， 周凌波， 姜金輝， 王 軻

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

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基于頻域法的隨機振動疲勞加速試驗設計

張 方， 周凌波， 姜金輝， 王 軻

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

基于結構疲勞壽命頻域分析法中的Bendat法和Dirlik法，通過理論推導分析證明并建立了隨機振動疲勞試驗中激勵譜量級、響應應力水平和疲勞壽命之間的線性關系式。基于有限元仿真的分析結果，提出了一種利用此等效關系進行加速試驗激勵譜量級確定的方法。算例表明，該加速方法可縮短試驗時間，為改進設計和提高質量等工作提供參考依據。

振動疲勞； 隨機振動； 加速試驗； 頻域法； 壽命估算

引 言

航空飛行器在起飛、機動和著陸等過程中都會產生或經受復雜的振動激勵，特別是隨機振動激勵，引起相關的振動環境問題，如設備適應性與人員舒適性、可靠性、結構的振動疲勞與耐久性等[1]。因此，對加筋板等典型航空結構進行隨機激勵下的振動疲勞壽命分析，在航空飛行器的設計、制造、使用和維護等階段都具有重要意義[2-3]。

結構的疲勞壽命分析方法主要有兩種[4]：a.基于統計計數的時域分析法；b.基于功率譜密度(power spectral density，簡稱PSD)函數的頻域分析法。頻域分析法通過有限元分析或實際測量得到結構危險點處應力響應的PSD函數，利用統計原理獲得相應PSD函數的相關參數，再結合應力的概率密度函數，選取適用的累積損傷準則及破壞判據進行疲勞壽命估計。相對于時域分析法[5]，頻域分析法具有方法簡便、計算量小和無需繁瑣循環計數等優點，特別是在疲勞循環載荷含動力學載荷特征時只能采用頻域法進行處理，因而在汽車、機械和航空航天等領域得到廣泛的重視[6-8]。

結構的振動疲勞試驗是對結構進行振動疲勞壽命分析必不可少的一個環節，但是在實際載荷激勵下的試驗時間通常較長，所以一般采用加速試驗的方法來縮短試驗時間,提高試驗效率,降低試驗成本，以較快得出結構的疲勞特性，為改進設計和提高質量等環節提供依據[9]。加速振動試驗通常采用兩種設計方法[10]：a.保持振動特性不變，通過改變隨機振動的頻率特性實現加速；b.保持頻率特性的相似性，在一定范圍內人為提高振動量級實現加速。

筆者采用第2種加速試驗設計方法，在維持試驗激勵譜譜型不變的前提下，通過提高激勵譜的量級來實現試驗加速，其關鍵是建立不同激勵譜量級、響應應力水平與疲勞壽命相互之間的關系，即疲勞損傷等效關系。因此，筆者基于疲勞壽命的頻域分析法對隨機振動激勵下的疲勞壽命問題進行研究，根據推導出的等效關系提出了一種確定加速試驗所需激勵譜量級的設計方法。

1 疲勞壽命頻域分析法

1.1 PSD函數

工程上一般通過以下關系式來確定結構危險點(b點)處響應的應力PSD函數

(1)

其中：Wa(f)為作用在a點的激勵PSD函數；Hba(f)為結構在a點處激勵b點處響應的頻響函數。

PSD函數的n階慣性矩定義為

(2)

由0階慣性矩得到應力響應和輸入激勵的均方根(root mean square，簡稱RMS)值分別為

(3a)

(3b)

(4)

(5)

其中：K為與結構固有特性有關的一個常數。

1.2 譜參數

頻域中通常使用各階慣性矩來近似估算隨機過程的零值正穿頻率E[0]以及峰值頻率E[P]

(6a)

(6b)

頻域中描述隨機過程譜參數通常使用譜型不規則因子γ和譜寬系數ε

(7a)

(7b)

根據式(2)和式(4)，得到以下關系式

(8)

1.3 累積損傷理論

根據Miner線性累積損傷理論，結構的疲勞累積損傷D可以表示為

(9)

(10)

其中：Di為第i次循環的累積損傷；n(Si)為應力幅值在Si時T時間內的實際應力循環次數；N(Si)為應力幅值在Si時的疲勞破壞循環數；p(Si)為應力幅值在Si時的概率密度函數。

若已獲得材料的S-N曲線SmN(S)=C，帶入式(9)和式(10)得到

(11)

當ΔSi→0時，式(11)寫成積分形式為

(12)

一般情況下，當D=1時，即認為結構發生疲勞破壞[11]，由此推出結構的疲勞壽命為

(13)

由式(13)可見，采用頻域法進行疲勞壽命估算的關鍵是將應力響應譜的PSD函數轉化為應力幅值的概率密度函數p(S)。目前，獲得近似p(S)已有一些經典的處理方法，例如，針對窄帶隨機過程的Bendat法和針對寬帶隨機過程的Dirlik法[12-13]。

2 加速試驗疲勞損傷等效關系

2.1 窄帶隨機過程等效關系

工程中一般認為當譜寬系數ε<0.35時，隨機過程可以視為窄帶過程[14]。窄帶過程響應的峰值頻率與零均值正穿頻率相近，可以近似認為E[P]=E[0]。

對于理想的窄帶過程，一般采用Bendat法，將應力幅值的概率密度函數近似為瑞利分布

(14)

代入式(13)，得到Bendat法的疲勞壽命為

(15)

第2類歐拉積分又稱作Gamma函數，其表達式為

(16)

式(15)可通過數學變換表示為Gamma函數的形式

(17)

由式(5)和式(17)可知，Bendat法計算得到的壽命T與σRMS和gRMS在雙對數坐標系中皆為線性關系

lgT=-mlgσRMS+lgA

(18a)

(18b)

2.2 寬帶隨機過程等效關系

工程中一般認為當譜寬系數ε>0.35時，隨機過程可以視為寬帶過程[14]。對于寬帶隨機過程的頻域疲勞壽命分析通常采用Dirlik法，即認為寬帶過程的應力概率密度函數為一個指數分布與兩個瑞利分布之和

(19)

式(19)也可通過數學變換表示為Gamma函數的形式

(20)

由式(5)和式(20)可知，Dirlik法計算得到的壽命T與σRMS和gRMS在雙對數坐標系中皆為線性關系

lgT=-mlgσRMS+lgB

(21a)

(21b)

2.3 加速試驗設計

由式(18)和式(21)可以總結出，結構在給定的激勵譜型下，采用Bendat法和Dirlik法計算的隨機振動疲勞壽命都具有表現形式一致的T(s)，σRMS(MPa)和gRMS(g)之間的線性關系。基于有限元分析，利用線性關系得到對某一結構對象進行仿真壽命監測的曲線圖，從而確定進行振動疲勞加速試驗所需的激勵譜量級。

基于頻域法的隨機振動疲勞加速試驗設計方法流程如圖1所示。首先，根據載荷條件和邊界條件對結構的有限元模型進行頻響分析，加載相同譜型、不同加速度量級(g)的激勵譜，得到應力響應的PSD函數和應力RMS值(MPa)；其次，根據累積損傷準則和S-N曲線參數，針對窄帶和寬帶問題分別選擇Bendat法和Dirlik法計算出響應的疲勞壽命(s)；然后，根據式(5)、式(18)和式(21)得到gRMS-σRMS，σRMS-T的關系式；最后，根據加速試驗的期望時間得到試驗所需使用的激勵譜量級(g)。

圖1 隨機振動疲勞加速試驗設計方法流程圖Fig.1 Random vibration fatigue accelerated test design flow chart

3 算例分析

采用Dirlik法進行算例研究。某加筋板試驗件長為480 mm，寬為430 mm，加強筋和L型邊與底板通過鉚釘連接，加強筋與L型邊通過角片用螺栓裝配相連，加筋板四側的L型邊與外部夾具采用螺栓進行裝配連接。加筋板受到夾具通過螺栓傳遞過來的垂直于底板方向的10g加速度隨機振動基礎激勵。

使用Hypermesh軟件建立加筋板的有限元模型，如圖2所示。劃分的有限元單元共計56 779個，單元類型為2D-PShell，連接類型為RBE2。該加筋板采用2024鋁合金材料，熱處理方式為T4，表面粗糙度Ra=3.2，其物理、力學及疲勞性能參數如表1所示。通過MSC.Patran和Nastran軟件進行頻響分析，找到危險點位于有限元模型編號為25 612的單元處，即角片與加強筋連接的螺孔邊緣位置，如圖3所示。

隨機振動的應力響應為隨機過程，定義應力均方集中系數KRMS為危險點處應力均方根值與對應點處名義應力均方根值之比[15]，應力響應計算采用Von Mises應力準則[16]，危險點處的應力均方集中系數KRMS=2.56。

表1 2024-T4材料的物理及力學性能

圖2 加筋板有限元模型 圖3 危險點應力響應云圖 Fig.2 Finite element model of the stiffened plate Fig.3 Stress response of the dangerous point

施加的加速度隨機基礎激勵譜型如圖4所示，其中, 10lg(W1/W2)=15dB。

圖4 加速度隨機基礎激勵譜Fig.4 Acceleration random base excitation PSD

加載實際使用激勵載荷(10g加速度)，當阻尼比ζ=0.005時，按照Dirlik法的壽命估算結果，需要進行1 743.33 h的試驗，這顯然在實際中很難實現。因此，基于有限元結果，需要按照壽命等效關系設計加速試驗間接評估加筋板的壽命。

由于有限元軟件仿真中需要自定義結構的阻尼系數，所以考慮ζ=0.005,0.01,0.015這3種常見的結構阻尼比情況進行分析。根據式(5)和式(21)，通過有限元仿真，理論上采用單點法就可以確定gRMS(g)，σRMS(MPa)和壽命T(s)的關系，但是建模和計算過程中不可避免地會產生舍入誤差和截斷誤差，因此采用多點法(本算例采用5個點)來擬合，以減小誤差影響，結果如表2所示。得到的gRMS-σRMS，gRMS-T曲線如圖5，6所示。由表2、圖5和圖6可見，擬合得到的關系式與理論表達式吻合很好，由此可以根據所期望的加速試驗時間來確定激勵譜的加速度量級。

圖5 gRMS-σRMS曲線Fig.5 gRMS-σRMS graph

圖6 gRMS-T曲線Fig.6 gRMS-T graph

阻尼比gRMS/gσRMS/MPaT/sKgRMS-T關系式1050.866.2760×1061576.289.1204×104ζ=0.00520101.74.5250×1035.086lgT=-10.438lggRMS+17.23625127.14.4060×10230152.66.5678×1011036.152.3752×1081554.233.4517×106ζ=0.012072.311.7125×1053.617lgT=-10.438lggRMS+18.8142590.381.6675×10430108.52.4856×1031029.502.0319×1091544.242.9529×107ζ=0.0152058.991.4650×1062.950lgT=-10.438lggRMS+19.7462573.741.4265×1053088.492.1264×104

一般振動疲勞加速試驗的理想試驗時間在1 h左右，根據關系式和壽命圖可以推出所需施加的激勵譜量級供試驗參考，如表3所示。

表3 激勵譜RMS值

4 結束語

基于結構疲勞壽命頻域分析法中的Bendat法和Dirlik法，通過理論推導分析，證明并建立了隨機振動疲勞試驗中激勵譜量級gRMS(g)、響應應力水平σRMS(MPa)和疲勞壽命T(s)之間的線性關系式。提出了可以利用此等效關系，基于有限元仿真的分析結果來進行加速試驗激勵譜量級確定的一種方法。算例表明，該加速方法可以大大縮短試驗時間，為改進設計和提高質量等工作提供參考依據。

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國家自然科學基金資助項目(51305197)；航空科學基金資助項目(2012ZA52001)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20123218120005)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2014-07-02；

2014-08-21

V215.5; TH113.1

張方,男，1962年8月生，教授。主要研究方向為復雜結構動載荷識別、機械結構動力學、噪聲與振動控制及振動信號數據分析等。曾發表《動載荷識別的時間有限元模型理論及其應用》(《振動與沖擊》1998年第17卷第2期)等論文。

E-mail: zhangf@nuaa.edu.cn

簡介：周凌波，男，1990年2月生，碩士。主要研究方向為隨機振動疲勞。E-mail: zhoulingbo@nuaa.edu.cn