圖像的分形幾何維數和系數模擬

圖像的分形幾何維數和系數模擬

幾何學是研究物體組成結構及形態關系的一門學科。歐幾里德幾何學的基本構圖元素是點、線、面，幾何物體由點、線、面的組合而成，幾何物體元素間的數量關系可通過解析幾何進行公式化表述。但如果我們仔細審視我們生活的這個星球，甚至將目光放得再遠一些直至整個宇宙，我們不難發現歐幾里德幾何學表述能力存在許多不足，對于在自然界中廣泛存在的山脈、河流、宇宙星系等客觀物體，由于它們的具有復雜的內部結構，歐幾里德幾何學在描述這些不規則形狀物體及其內部細節方面存在很多不足。另外，隨著幾何學研究的不斷發展，人們研究了康托集合、柯可曲線、斯爾賓斯基三角形等幾何形狀，發現歐幾里得幾何遇到了前所未有的挑戰，歐幾里得幾何因無法準確描述這些幾何結構而只能給它們標上“病態”標簽從而排除在研究范圍之外。1975，Mandebrot質疑歐幾里得幾何學的維數概念，他針對英國的海岸線問題進行了深入研究，他發現：測量得到的海岸線長度依賴尺子的尺度，歐幾里德幾何的長度概念在處理海岸線問題時遇到了困難，為了克服理論上的困難， Mandebrot提出用自相似維數概念，并用“Fractal”（分形）一詞來描述海岸線等不規則幾何形狀，經過不斷的深入研究，分形幾何理論逐漸形成了獨立的學科體系，體系內容不斷得到豐富和完善，。

分形實例

康托集合

設實數區間[0，1] 為E0，令同樣方法去掉E1兩個子集中間三的三分之一部分，如此循環往復，逐步得到Ek，Ek是由2k個長度各為3k的區間組成，令F＝則稱F為三分Cantor集。如圖1所示。

圖1 康托集合

圖2 柯克曲線

柯克曲線

設E0是長度為1的線段，按照和三分康托集一樣的方法去掉中間三分之一，在空白處用等邊三角形的另兩邊補充得到E1，按照同樣的規則對E1進行操作，設k為操作次數，當

k→∞時得到的極限曲線F，F稱為柯克曲線，如圖2所示。

圖3 斯爾賓斯基三角形

斯爾賓斯基三角形

任意三角形，取三邊的中點，并將中點連接起來，將中點圍成的三角形挖掉，得到三個的三角形，采用同樣的方式挖掉三個三角形的中心部分，得到九個三角形，以此類推下去，就會得到如圖3所示的圖形，該圖形成為斯爾賓斯基三角形。

從傳統歐幾里德幾何角度分析，康托集合和柯克曲線的長度為零，斯爾賓斯基三角形的面積也為零，這些圖形顯然與歐幾里德幾何的結論矛盾，因為一維物體長度不可能為零，二維結構的面積也不肯能為零，因此按照歐幾里德幾何的邏輯上述圖形都是“病態”的。仔細分析康托集合、柯克曲線、斯爾賓斯基三角形不難發現，它們的共同特征是具有精細結構，即由任意小的細節構成；整體與局部具有自相似性。

自相似性和自相似維數

如果物體的整體縮小后能夠與局部重合，我們稱這樣的物體為分形物體，物體的這種特征稱之為自相似，定義自相似維數為：

上式中D稱為自相似維數，N為物體的細節個數，r為相似比。利用上式進行計算，得到康托集合的自相似維數是，柯克曲線的自相似維數是，斯爾賓斯基三角形的自相似維數是，很明顯，物體的自相似維數一定是整數。

康托集合、柯克曲線和斯爾賓斯基三角形在歐幾里德幾何理論框架內都屬于病態圖形，但在分形幾何理論體系內，它們具備了豐富的數學內涵，即具有嚴格的自相似特征，并且它們的自相似維數都是小數。另外需要指出的是自相似維數和傳統的歐幾里德幾何維數是相容的，即傳統幾何物體的自相似維數和歐幾里德維數相等。因此自相似維數的引入豐富了傳統維數概念的內涵。

圖4 斯爾賓斯基三角形計算結果

圖5 橛子樹模擬結果

分形圖像的構造算法

表1 斯爾賓斯基三角形的變換系數表

康托集合、柯可曲線也可通過相同的方法計算得到。不僅幾何結構可以采用上述算法計算得到，自然物體同樣也可以用相同的算法進行模擬，表2是橛子樹的構造算法系數表，圖5為計算模擬結果。

表2 橛子樹的變換系數表

計算結果表明：具備自相似特征的分形物體可以采用幾個仿射變換的方法進行構造，該構造的核心問題是選取合適的仿射變換系數。自然物體雖不具備嚴格的自相似特征，但它們普遍具有統計自相似性或局部自相似性，仍然可以通過仿射變換進行構造。因為變換系數的數據量遠小于實際圖像的數據量，從而可以實現數據壓縮的目的。有些情況下我們需要實現圖像目標的自動識別，而變換系數描述了圖像細節，因此可以通過對比變換系數的方法實現計算機目標自動識別。

10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.20.025