“數形兩相依”“永遠莫分離”

周艷紅

華羅庚先生說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀， 形少數時難入微。數形結合是最重要的數學思想方法之一.同時數形結合并不等同于嚴格的證明，又是一把雙刃劍，用得好事半功倍，用不好就會在不知不覺中出現錯誤.我們應力求避免學生在數形結合中的典型錯誤，充分發揮數形結合的作用，使抽象變直觀，復雜變簡單”。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學的解題中，主要有三種類型：以“數”化“形”、以“形”變“數”和“數”“形”結合。數與形是兩種事物，把這兩種事物變得有形化。

現我就對數形結合的應用談以下幾點看法：

1、數形結合，利于激發學生興趣，把抽象的數學概念直觀化

數學，在學生看來是枯燥的、抽象的。數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；如：二年級數學第一冊中《乘法的引入》用相同的圖像引導學生列出同數相加的算式，這樣一方面利用數形結合思想直觀、形象、生動的特點展現乘法的初始狀態，懂得乘法的由來；另一方面借助學生已有的知識經驗——看圖列加法算式，加深了圖、式的對應思想，無形中也降低了教學難度。二年級數學新教材第一冊中通過游樂場主題圖來引入乘法。在實際課堂教學中運用幻燈片技術展現一條船上有三人，然后依次出現這樣的第二條船，第三條船，一直到第六條船，如何來表示這個場景呢？學生自然會用同數相加的方法來表示。接著，教師一邊出示滿是船的湖面一邊提出：“如果有20條船，30條船，甚至100條船，你們怎么辦呢？“學生一片嘩然：哦～～！！算式太長了，本子都寫不下呢。”這時，建立乘法概念水到渠成！教師歸納：可用乘法算式表示——船的條數乘以一條船的人數或者用一條船上的人數乘以船的條數。數形結合使學生不僅理解了乘法的意義，而且懂得了乘法是同數相加的簡便運算。 再如：9的口訣，引導學生在10乘10的方格紙上涂色。1個9，第一行涂9個，10少1；2個9，涂二行，20少2……如此下去，簡明直觀，一目了然。

2、數形結合，利于發展學生思維

如果在學生獲得知識和解決問題的過程中讓學生觀察、實驗、分析、概括的過程中看到知識負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識就是靈活的，可遷移的，學生的數學素質才能得到質的飛躍。如，在講《11—20》各數認識這節課中，我先引導學生用小棒1根1根數到10 ，提問接著怎么數？ 學生自然地說：“零散的表示10個1，10個1是1個10， 捆成1捆，整捆的小棒表示1個10，然后再添上1根是11。那在計數器上怎樣撥出11呢？學生一下子就撥出來了。我又問：“十位上的1和個位上的1表示的意義一樣嗎？”學生很自信地說：“十位上的1表示一個10，個位上的1表示一個1。通過擺小棒，計數器使學生理解一個十和幾個1合起來是十幾。這個過程是邊數邊擺邊撥邊說組成邊讀數的活動過程.，給了學生較大的空間，讓學生自己探索學習，從中又培養了學生觀察、動手操作的能力，從而發展了學生的思維。再如，學習“植樹問題”時，先與學生們一起玩手指游戲。先出示兩個手指，讓學生觀察，有幾個手指幾個間隔？“兩個手指一個間隔。”接著出示三個手指，讓學生觀察，有幾個手指幾個間隔？“三個手指兩個間隔。”……從而得出手指數和間隔數之間的關系是：手指數=間隔數+1。其實在進行植樹問題時，可以和學生們上一節間隔問題的種子課。就是“間”和“隔”讓孩子們明白是兩種“形”，這樣學生有了形的參照。再下一步認識的植樹問題時，數與形的結合，讓孩子們認識到這是兩種事物的表現。對于二年級學生來說是最容易理解的。

例如：情境引入后，出示例題：“同學們要在長30米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，兩端也要種。一共需要多少棵樹苗？”如果有了上面種子課的認識“間”和“隔”，那么樹和樹與樹之間的空這兩種有形的實物在學生腦海了就能呈現出“形”的樣子。然后讓學生分組討論，根據自己的理解列式解答，并設法驗證。匯報時，有些學生是通過畫示意圖，進行“實地”植樹來驗證；更多的學生是通過畫線段圖來說明。大家均驗證出：在兩端都種的情況下，植樹的總棵數=間隔數+1。像這樣，把算式形象化，學生看到算式就聯想到圖形，看到圖形能聯想到算式，把數和形結合起來，使抽象的數學知識形象化。這樣做既可使學生獲得豐富的表象，發展空間觀念，又可使學生學好抽象的數學知識，把抽象邏輯思維與形象思維緊密結合起來，以利于發展學生的思維能力。

數形結合是我們解決問題的潤滑劑，它能變抽象為直觀，變復雜為簡單，所以它是數學的重要思想之一，可有時也會栽跟頭。如果“形”直根于學生的思維，其實什么問題的數學思考都會水到渠成。我們數學問題的理解全部都離不開數與形的有機結合。用好這把“雙刃劍”可以讓我們的教學如魚得水。