小細節彰顯大智慧

王義芳

伴隨著學習的深入，知識點逐漸增多，為使學生清楚地認知問題，避免混沌，在教學中，教師應有意識地對易混易錯知識進行對比，分析出錯的原因，洞悉出錯類型，借此提高學生的辨析能力，培養認知的嚴謹性、規范性，從而由表及里地完成新知的順應。那么如何構造易錯易混問題呢？筆者認為可通過以下方式：

一、變“字”

例1.（2011山東高考改編）求曲線y=x3+11在點p（1，12）處的切線方程。

解：由f′（x）=3x2得切線的斜率k=f′（1）=3，過點p（1，12）的曲線的切線方程為y-12=3（x-1），即y=3x+9。

如果解題“點到為止”，就失去了該題潛在的糾錯功能。現做如下變化：

求曲線y=x3+11過點p（1，12）處的切線方程。

變了個字！學生大多不以為然，解答如出一轍。此時，教師可通過繪圖剖析得到函數過此點處的切線的數量，引導學生反思、辨析，從而明確差別：即此處所求的切線只說經過點p，而沒有說點p一定是切點，故切線的斜率k與f′（1）未必一定相等。而在點p處的切線，則點p一定是切點。由此探討歸納解法：

正解：設經過點p（1，12）的直線與曲線相切于點（x0，x03+11），則由f′（x）=3x2得在點（x0，x03+11）處的斜率k=f′（x0）=3x02，

設切線方程為y-（x03+11）=3x02（x-x0），把點p（1，12）代入切線方程得12-（x03+11）=3x02（1-x0），即2x03-3x02+1=0解得x0=1或x0=.

思考：這種輕而易舉的變式，顯然會麻痹學生的思維，特別對于“時間至上”論點的經驗主導者而言，更會“飛蛾撲火”，則教訓一定是深刻的。所以，解題一定要切記“欲速則不達”，應“字斟句酌察細節、規行矩步達細節”。當然，這“一字之變”要切準知識傳承與數學素養培養和能力提升的平衡點、鏈接點、生長點，以更好地促進有效教學的發生，使學生認識到“細節積聚著一種功力、蘊涵著一種魅力、孕育著一種素養”。

調整了敘述次序！相信不少的學生會不以為然，認為沒什么影響，于是解法同上，導致錯解。為此，教師可通過特值代入，舉例驗證。然后引導學生辨析“敘述次序的變化”對問題的影響：顯然是把“區間上單調”問題和“單調區間”問題混淆了。

警示：（1）函數在區間上單調等價于恒成立問題。（2）函數的單調區間問題。

思考：準確快速解題就要把握問題的特征，如外形特征、結構特征、數值特征、目標特征等，其中，結構就是數學問題的搭配形式，某些問題已知的順序結構中常常隱含著某種特殊的關系，而改變這種順序，可能就意味著改變問題的屬性，從而改變問題的求解思路，所以這種看似平淡的變化中會隱藏著巨大的教學價值，不斷地訓練就會使學生經常注意對問題的特征進行仔細的觀察、分析和聯想，對找準解題的思維起點、提高解題能力將大有裨益。

上面給出的例題都是學生比較熟悉的題目，多數學生能正確求解，對應構造的變式則與例題是易混易錯題，學生做完例題后嘗試變式，若不注意到其中的變化，則受思維定式的作用，會套用“前車之鑒”，導致出錯。而由學生在錯中改錯，讓他們再經歷一次嘗試與修正的過程，不但可以增強識別、改正錯誤的能力，更可以培養學生“審慎”的思維習慣，提高思維的控制力。著名的學術理論家、哲學家波普爾曾說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試誤法。”本文提到的兩種構造方式皆是“小手術”，但卻能反映、處理一些“大頑疾”，不失為試誤方法中的“點睛之筆”，可謂“小細節中隱藏大智慧”。

編輯 魯翠紅