復習回顧，深入挖掘，優化數學教學
——“平面與平面平行的判定定理”一課引發的思考

☉江蘇省梁豐高級中學 宋東娟

復習回顧，深入挖掘，優化數學教學
——“平面與平面平行的判定定理”一課引發的思考

☉江蘇省梁豐高級中學 宋東娟

最近，觀摩了上級教研部門組織的立體幾何教學研討活動，有兩位教師開設了公開課，上課的主題是《平面與平面平行的判定定理》.眾所周知，與傳統的立體幾何相比，新課程中立體幾何教學發生了兩大變化，一是從以往的點、線、面、體局部到整體展開轉變為按照整體到局部的方式展開幾何內容；二是從傳統的對定理、性質的嚴格證明的思維過程轉變為突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算的探索歷程.

本節課是在空間線線、線面、面面位置關系以及直線與平面平行的判定基礎上展開的，兩個平面平行的判定定理是立體幾何中的一個重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內在聯系，體現了轉化的數學思想.通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認—思辨論證”的認知方法，培養幾何直觀能力和抽象概括能力，為以后學習直線、平面垂直的判定及其性質打下基礎.兩位教師的教學設計與風格基本雷同，主要包含了以下幾個過程.

一、一般的教學流程

（一）復習回顧，引入新課

問題1直線與平面有幾種關系？線面平行如何定義？

問題2請分別用圖形語言、文字語言、符號語言陳述直線與平面平行的判定定理.

問題3類比直線與平面平行的定義，你能描述一下平面與平面平行的定義嗎？

問題4直接用定義判定面面平行方便嗎？

（二）動手操作，探究新知

問題5一個三角板和或一本書，如何把三角板（書）所在平面都擺成與桌面平行的位置狀態？

問題6調整三角板，使三角板的一條邊所在的直線和桌面平行，這時三角板所在平面與桌面是否平行？

問題7調整三角板，使三角板的兩條邊所在的直線和桌面平行，這個三角板所在平面與桌面是否平行？

（三）借助模型，感知定理

問題8一個平面中一條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行嗎？如果“一條直線”不夠，那么“兩條直線”、“三條直線”、“無數條直線”夠了嗎？

教師借助長方體模型，利用長方體中棱長所在直線與各面之間的關系與學生一起探究問題8，最后得到判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

圖1

圖2

圖3

（四）應用定理，內化規則

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

變式1如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別為AA1，AB，AD中點.求證：平面PQR∥平面CB1D1.

變式2如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F，M分別是棱A1B1，AA1，B1C1的中點，在此正方體中，是否存在過點E，M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由.

點評：本課的設計比較傳統，一般教師都是按照這樣的套路進行.以“直觀感知—操作確認—思辨論證”的認識過程展開；精心設計問題，通過問題驅動的方式展開教學；以長（正）方體模型為載體，利用其

結構對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等特點，直觀研究線線、線面、面面位置關系；提供學生動手操作的機會，展開空間想象，主動建構知識.

二、存在的問題

雖然兩節課從總體上講循規蹈矩，不存在大的問題，但有兩個教學細節還是讓人覺得很困惑.

困惑1：兩位教師都采用的是“復習回顧”的方式引入課題，通過復習線面平面的關系及判定定理，從而引發對面面平行的思考.這完全符合奧蘇貝爾的“有意義學習”中的“先行組織者”理論.先行組織者是在課堂教學之前呈現的，通常是一個總的概述或類推，有助于學習者將學習材料置于一定背景中，從而構成“接受新材料的穩定中心”.“先行組織者”通常用于較為復雜的學習任務、較高級別的學習，是課堂教學前為學生提供的一個框架或結構，使得教學內容組織、轉化成有意義關聯的部分，無論是概念的學習，還是規律的發現，甚至問題的解決，高中數學學習的過程都可以稱得上較為“復雜”的學習，因此，“先行組織者”對高中數學教學是非常必要的策略.［1］但兩位教師的“復習回顧”似乎僅僅停留在“引入”的層面，沒有進一步挖掘知識前后的聯系，只是給人一種“例行公事”的感覺.

困惑2：兩位教師基本上都是從一條、兩條、無數條直線到兩條相交直線的思路引導學生探究，尋找面面平行的判定條件（定理），這些探究是否符合數學知識的發生、發展過程？是否真正發展了學生的數學思維能力？很多老師的理由是在這之前學生經歷過直線與平面的位置關系的研究過程，了解直線與平面平行轉化為該直線與平面內一條直線的關系，所以，在尋找面面平行的判定條件時，首先考慮的是從一條直線開始，如果不夠，再依次增加.上述理由看似合理，但前提是學生預先已經知道面面平行跟線面平行有關，否則只是教師的一廂情愿.

困惑3：兩節課都是利用教材中的實例，比如三角尺、書本作為探索判定定理模型，而缺乏更生動、更實際的應用模型，這反映出教師在平時上課時拘泥于課本，將數學教學建立在教材的基礎上，而很少聯系實際生活，引導學生發現數學結論和建立數學概念.平面與平面平行的判定究竟對現實生活中有什么實際意義？

三、教學過程的優化

基于上述分析，本課的兩個環節可以進行如下優化.

（一）引入環節

還是通過復習“線面平行的判定”引入，但不要僅僅局限于定理的本身，而是要深入挖掘定理獲得過程所蘊含的數學思想.直線與平面平行的判定，主要是利用了轉化的數學思想方法，即“高維”轉為“低維”.在線面平行的判定中，把維度相對高的“線面平行”轉化為維度相對低的“線線”平行來判定，這在立體幾何的公理化體系中表現得淋漓盡致.比如，線與線的關系往往用“點”來刻畫，判定線是否在面內，只需“兩個點”在面內，面與面的關系往往用“線”來刻畫，判斷面與面是否相交，只需存在一條“公共直線”就行了.用“點”刻畫線，用“線”刻畫面，用“一維”來刻畫“二維”，用“二維”刻畫“三維”……用“低維”刻畫“高維”這才是立體幾何思想方法的精髓，我們常說的“空間問題平面化”就是充分體現了這個原理.因此，這個原理在復習引入中一定要展現給學生，并且要不斷強化.如此，面面平行的判定思路自然清晰了，即要轉化為“線面”平行，至于需要幾次線面平行，那就是一些細枝末節的問題了.教學的大方向把握好，教學過程自然水到渠成.

通過復習回顧，不僅建立新、舊知識之間的聯系，平面與平面的位置關系問題可以轉化為直線與平面的位置關系問題，進而還可以轉化為直線與直線的位置關系問題，而且為后續線面垂直的學習奠定了基礎.

（二）應用環節

本課，雖然有三角板這一工具的助陣，但無法充分體現面面平行判定定理的應用價值.其實，立體幾何的公理、定理都能再現實生活中找到生動的應用案例.比如，如何判定四條腿的凳子是否平穩，可先按緊其中三條凳腿，然后前后左右地晃，看另一條沒被按緊的凳腿是否被“晃動”，如果紋絲不動，就說明凳子平穩了，這就是利用了立體幾何的公理“不共線的三點確定一個平面”.面面平行的判定定理在現實中也有應用.木工師傅的水準器是比較常見的器械，這里面的依據就是面面平行的判定定理，教師事先準備一臺，讓學生動手操作、體驗.

教師不是“教教材”，而是“用教材”.關注教材知識的前后聯系，通過深入挖掘知識內涵，整合優化教材的知識結構，從而實現教材應用的“再創造”.

1.石志群.例談“先行組織者”的途徑與功能［J］.數學通報，2016（2）.Z