幾何圖形中常見最值問題的解法

江蘇省南通市第一初級中學(xué)(226006)

吳玉紅●

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幾何圖形中常見最值問題的解法

江蘇省南通市第一初級中學(xué)(226006)

吳玉紅●

本文從軸對稱變換——最短路徑問題；垂線段最短——最短路徑問題；三角形三邊關(guān)系——最短路徑問題；平面展開圖——最短路徑問題闡述了平面幾何圖形的最短路徑問題的解法．

平面幾何圖形；最短路徑問題

平面幾何圖形中的最值問題是近幾年中考常見的題型，此類問題常讓學(xué)生無從下手，特別是新市民子女，由于他們數(shù)學(xué)知識的短缺、題目信息采集不夠、綜合應(yīng)用能力弱、數(shù)學(xué)思維紊亂，課本知識理解不到位等原因造成錯誤．為此我在平時教學(xué)中注重對這類問題的歸類整理，在教學(xué)中對他們進(jìn)行必要的專題拓展訓(xùn)練，引導(dǎo)他們歸納、總結(jié)、獲得解決這類問題的基本技能，培養(yǎng)他們的思維習(xí)慣．

一、軸對稱變換——最短路徑問題

1．書本原型：

(1)點A、點B在直線l兩側(cè)，在直線l找一點P，使PA+PB值最小．

分析 根據(jù)兩點之間線段最短．點P既在直線l上，又在線段AB上，PA+PB值最小．

解 連接AB，交直線l于點P，點P就是所要求作的點．

(2)點A、點B在直線l同側(cè)，在直線l找一點P，使PA+PB最小

分析 利用軸對稱的性質(zhì)找一個點B1，使得PB1=PB，因而 PA+PB=PA+PB1，要使PA+PB最小，只要PA+PB1最小，只要，A、P、B1三點共線．

解 作點B關(guān)于l的對稱點B1，連接AB1交l于點，點P就是所要求作的點．(也可以作點A關(guān)于l的對稱點A1，連接A1B交l于點P，點P就是所要求作的點).

2．應(yīng)用

例1 在右圖中，以直線l為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，點A(1,2)、B(4,1)．

(1)在x軸上找一點P，使PA+PB最小，請在圖中畫出點P，并求出點PA+PB的最小值．

分析 作A、B 兩點中的一點關(guān)于x軸的對稱點，連接這個對稱點與另一點的線段交x軸于點P. PA+PB的最小值實際上就是線段AB1的長3 . ∴PA+PB的最小值是3.

(2)在y軸上找一點C，在x軸上找一點D，使四邊形ACDB的周長最小，則點C的坐標(biāo)為____,點D的坐標(biāo)為____.

分析 本題兩個動點C、D，要使四邊形ACDB的周長最小，只要AC+CD+BD+AB的值最小,而AB是一個定值，只要AC+CD+BD最小．作點A關(guān)于y軸的對稱點A1，作點B關(guān)于x軸的對稱點B1，則AC=A1C，BD=B1D，AC+CD+BD=A1C+B1D+CD，只要A1、C、D、B1共線，則A1C+B1D+CD最小，從而AC+CD+BD最小．

二、垂線段最短——最短路徑問題

1．書本原型

在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠使渠道最短．

分析 根據(jù)垂線段最短， P到直線l最短的距離是點P到直線l的垂線段的長．

解 過點P作直線河岸l的垂線段，垂足為點A，線段PA就是最短的渠道．

2．應(yīng)用

例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點A(-4，0)、B(0，4)，⊙O的半徑為1(O為坐標(biāo)原點)，點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為____．

四、平面展開圖——最短路徑問題

我們常常遇到螞蟻從一個幾何體的一個側(cè)面上一個點，繞過側(cè)面走到另一個點，怎樣走最近的問題．通常將曲面展平，轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短、垂線段最短問題，從而將曲面的最短路徑問題轉(zhuǎn)化為平面最短路徑問題．

例5 如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是____.

分析 這是一個螞蟻爬行的最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展平，得到一個矩形．螞蟻從容器外壁爬到容器內(nèi)壁最短，就是螞蟻沿圓柱側(cè)面爬到容器頂經(jīng)過某一點P，再爬到點A的最短路徑，實際上就是在一邊DE上找一點P，使PA1+PB最小.根據(jù)軸對稱——最短路徑問題的作圖步驟得螞蟻沿線段BA2最短，根據(jù)勾股定理可得BA2的長．

解 在Rt△A2B1B中,

∵A2B1=12cm，BB1=5cm

由勾股定理得,

∴A2B=13cm.

所以螞蟻爬行的最短路線長是13cm.

學(xué)生覺得難以解決的幾何最值問題，我在平時的教學(xué)中注重把書本原型跟學(xué)生講透；讓學(xué)生理解書本上的原理：兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生有章可循，有法可用.授人以魚不如授人以漁，對于新市民子女的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要是提高他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)會解題技能，讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樂趣，讓他們想學(xué)數(shù)學(xué)、能學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，從而愛上數(shù)學(xué)，真正實現(xiàn)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的理念：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．”

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