簡議數學發現中的再發現

江蘇省江陰市華士高級中學(214421)

費振東●

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簡議數學發現中的再發現

江蘇省江陰市華士高級中學(214421)

費振東●

科學中的每個新發現.即使它的實際應用暫時還無法實現.但都會給發現者本人和他人帶來衷心的喜悅.數學中的眾多發現正是因此而作為一門重要學科其千姿百態的各種發現激勵和鼓舞著無數的人們.“在偉大的發現或偉大的理論中，那種穩定的聯系或更高的統一是通過相似模式的階段而達成的.”同時也證實了：“許多科學發現就是從以前認為不相同或沒有聯系的事件之間找到一個共同的特征或聯系.”這也使我們懂得了數學中的許多發現實際上都是一種再發現.

共同特征；統一；再發現

盡管數學里的發現方法多種多樣，但我認為眾多發現實際是一種再發現.也可以說，許多發現就是從以前認為不相同或沒有聯系的事情之間找到的共同特征或聯系.我們看下面的實例：

勾股定理，托勒密定理，歐拉定理，這三大定理在幾何學中都是我們熟知的：

①勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.②托勒密定理：圓內接四邊形兩對角線的積等于兩組對邊乘積之和.③歐拉定理：在線段AB上任取兩點C，D，則AC·BD=AD·BC+CD·BA.

這三個定理的發現似乎是一個謎，關于①的發現我們可能見到過一個古老的傳說故事.勾股定理又叫畢氏定理，據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000年其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的.據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀.故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”.遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法.又據記載，現時世上一共有超過300個對這定理的證明.可是，對于②和③是怎么發現的呢？幾乎無法得知.我們看這三個定理分別發現的時間表：

定理名稱勾股定理托勒密定理歐拉定理發現時間公元前700-600年公元前330年-275年公元前1707-1783年

如果關于勾股定理發現的傳說故事是真實的話，那么定理②，定理③是如何發現的呢？由于過去人們注重的是發現的結論，因此各種資料書刊很少記載發現的過程.加之一般的發現者不愿透露自己的發現的秘密，所以對此無法考證.但我在研究考查“托勒密定理”的發現時，偶然發現了后兩個定理②和③發現的秘密：①特殊; ②一般;③極端.

粗看三大定理毫無聯系，但從統一的角度把三者聯系起來，就發現三者之間有深刻的聯系.還可以看出后者的發現實質上前者發現中的再發現.由此也可猜想出②和③的發現過程.

我們用數學語言表達就是：在直角三角形△ABC中，a2+b2=c2.

如果將a2+b2=c2寫成aa+bb=cc，就可以看成是矩形的兩組對邊之積.由于矩形的四個頂點是共圓的，我們把矩形放入圓中考慮，就成為圓內接矩形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的積(圖1)

如果我們把矩形改變為梯形，邊與對角線還是否有上面的關系呢？等于即AB·DC+AD·BC是否等于AC·BD.因為圓內接梯形定為等腰梯形，所以AD=BC,AC=BD，上面式子就成為 AB·DC+AD2是否等于AC2(圖2)

如圖3，平移CA到DE，過D作DG⊥AB于G，則可證得AB·DC+AD2=AC2.

利用勾股定理，四邊形ABCD為等腰梯形，DE∥AC，

∴AE+2AG=AB,∴AG2=AB·DC+AD2AE2+2AG·AE=AB·AE,DG2+(AG+AE)2=AD2+AB·DC,DE2=AB·DC+AD2.∴AC2=AB·DC+AD2.

因此，四邊形為梯形時，“兩組對邊乘積之和等于兩對角線的積”是正確的.

若把梯形改成其他四邊形進行探索，最后變為一般的圓內接四邊形，看上面類似的結論還是否成立，即AB·DC+AD·BC是否等于AC·BD.

證明：作∠PBA=∠DBC(圖4).

∵∠PBA=∠DBC,∴△PBA∽△DBC,

∴AB·CD=AP·BD(1).

∴△CPB∽△DAB,∴BC·AD=CP·BD(2).

(1)+(2)得AB·DC+AD·BC=AC·BD.

這一等式的成立就正是托勒密定理.

從文中所經歷的時間表中，可以看出：僅就這樣一點認識上的飛躍——新發現②.經歷了大約四百年，這就說明了人們要打破常規來認識一個已經熟悉的問題并非易事.雖然托勒密在當時打破了畢達哥拉斯(或商高)的認識①，但他沒能進一步深思下去.兩千年后，歐拉又把托勒密的認識推向了極端.他假設圓的半徑無限增大，而圓周上的四點 就落在同一直線上，從而發現了③.(證明略)

從上述過程看出，三大定理的統一恰好說明了：“在偉大的發現或偉大的理論中，那種穩定的聯系或更高的統一是通過相似模式的階段而達成的.”同時也證實了：“許多科學發現就是從以前認為不相同或沒有聯系的事件之間找到一個共同的特征或聯系.”這也使我們懂得了數學中的許多發現實際上都是一種再發現.

[1]數學發現的藝術[M].青島海洋大學出版社

[2]初等數學研究課程[M].湖南教育出版社

[3]初等代數研究[M].高等教育出版社

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