聚焦《勾股定理》中的數學思想

江蘇省泗陽縣實驗初級中學 (223700)

王 慧 ●

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聚焦《勾股定理》中的數學思想

江蘇省泗陽縣實驗初級中學 (223700)

王 慧 ●

勾股定理具有豐富的數學思想，在學習中應該把握方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化思想等.

勾股定理；數學思想

一、方程思想

所謂方程思想，就是通過觀察，分析，判斷，從已知量和未知量之間的位置關系或數量關系入手，找出等量關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程，再通過解方程把問題解決.

例1 如圖，將矩形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在邊BC上的F處，已知AB=8,AD=10.求CE的長.

析解 由折疊可知△AED≌AEF,AF=AD=10,DE=DF.

在△ABF中，因為AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102

所以BF=6,所以CF=10-6=4.

設CE=x,則EF=DE=8-x.

在△CEF中，因為CE2+CF2=EF2,

即x2+42=(8-x)2,解之得x=3,所以CE=3.

點評 通過勾股定理來建立方程是數學中常用的思想方法，設未知數把未知的量與已知的量集中到一個直角三角形中，再通過勾股定理建立方程，然后再解方程求出CE的長.

二、數形結合思想

所謂數形結合思想：就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過“以形助數”，和“以數輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.

例2 如圖：正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的△ABC中，邊長是無理數的邊數有( )條

A.0B. 1C.2D. 3

析解 把三條線段AC,AB,BC分別看作某個直角三角形的斜邊，根據勾股定理得：

因為AB,BC的長為無理數,故選C.

點評 勾股定理由已知的“直角三角形”得出“a2+b2=c2”的結論，這是由“形”的條件而得出“數”的結果，蘊含著從形到數的轉化.

三、分類討論思想

所謂分類討論思想，就是將問題劃分為若干個既不重復也不遺漏的小問題，再一一加以解決的方法.當問題的條件不具體時，通過分類討論可以確定準確的答案.

例3 在△ABC中，AB=15，AC=13,邊BC上的高AD=12.求△ABC的面積.

析解 因為△ABC的形狀不確定，需要分類討論.

(1)當△ABC是銳角三角形時在△ABD中，BD2+AD2=AB2,即BD2+122=152,所以BD=9.

在直角△ACD中，AD2+CD2=AC2,即122+CD2=132,所以CD=5.

所以BC=BD+CD=9+5=14.

綜上所述,△ABC的面積為84或24.

點評 本題△ABC的形狀不確定，可以通過分類討論來解決問題.

四、轉化思想

所謂轉化思想，就是將要解決的問題轉化為另一個較為容易解決的問題或已經解決的問題，具體的做法是將未知的“轉化”為“已知”，將“陌生”的轉化為“熟悉”，將“復雜”的轉化為“簡單”.

例4 如圖：要在直線l上修一水利站，分別向張莊A和李莊B送水，已知張莊A到河邊l的距離AC=2km，李莊B到河邊l的距離BD=7km,CD=12km.如果鋪設水管的工程費用為每千米1500元，求鋪設水管的最小費用.

析解 求鋪設水管的費用最小，就是轉化為求鋪設水管長度最短.延長AC到E,使CE=AC=2,連接BE交CD于點P，此時PA+PB最小.過點E 作EF∥l交BD的延長線于點F,根據題意得：EF=CD=12,DF=CE=AC=2,所以BF=BD+DF=7+2=9,在直角△BEF中，BE2=EF2+BF2=122+92=225，所以BE=15.因為PA+PB=PE+PB=BE,即PA+PB的最小值為15,所以鋪設水管的最少費用為15×1500=22500元.

點評 遇到實際問題或非直角三角形時，通常把實際問題或非直角三角形轉化為直角三角形，然后利用勾股定理來解決問題.

G

B