例談兩類“相切”問題的求解

童永奇●

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(710609)

?

例談兩類“相切”問題的求解

童永奇●

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(710609)

本文擬通過歸類舉例的形式，著重說明：借助導數(shù)的幾何意義，可以順利探求與曲線“相切”的一些常考的數(shù)學問題.

類型一、直線與曲線“相切”問題

解題理論1 曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).

1.根據直線與曲線相切，求參數(shù)的值

例1 (2016年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第16題)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=____________.

于是，由①②得

故b=lnx1+1=1-ln2.

(方法二)設直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(x1,y1)，則

設直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于點(x2,y2)，則

于是，根據③④可得b-1=1-k+b，化簡得k=2，將之代入①即得b=1-ln2.

評注 一般地，遇到直線與曲線相切，往往需要設出切點的坐標，或根據切線方程來解決(如方法一)，或根據題意列方程組加以靈活處理(如方法二).

2.根據直線與曲線相切，巧求含參函數(shù)的零點個數(shù)

例2 已知a>1，試討論函數(shù)f(x)=ax-x(a>1)的零點個數(shù).

解析 先分析直線y=x與曲線y=ax(a>1)相切時，參數(shù)a的取值.

因為切點在直線y=x上，所以可設切點坐標為(x0,x0).

由y=ax求導得y′=axlna，所以根據切線方程為y=x即得ax0lna=1. (*)

接下來，再結合圖形分析.

評注 上述求解的關鍵是先分析臨界情形，再靈活運用指數(shù)函數(shù)的圖像規(guī)律加以思考.

3.根據直線與曲線相切，巧求參數(shù)的取值范圍

例3 (2016年西安八校聯(lián)考(三)理科第12題)函數(shù)f(x)=lnx-ax2+x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )

當x>e時，t′(x)<0.所以函數(shù)t(x)在(0,e)上遞增，在(e,+)上遞減.

又易知：當x→0時，t(x)→-；當x→+時，t(x)→1.

據此可畫出函數(shù)t(x)的圖像(如圖1)，讓直線y=ax繞著坐標原點旋轉分析即知：為滿足題意，需要0

圖1

接下來，具體分析直線與曲線相切情形.

令s(x)=2lnx+x-1，則因為易知函數(shù)s(x)在t(x)在(0,+)上遞增，且s(1)=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一實數(shù)根x=1.從而，可知x0=1，所以kOP=t′(1)=1.

綜上，由(**)知所求0

類型二、曲線與曲線“相切”問題

1.根據曲線與曲線相切，巧求函數(shù)的取值范圍

例4 【同例3】(2016年西安八校聯(lián)考(三)理科第12題)函數(shù)f(x)=lnx-ax2+x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )

解析 由題設得方程f(x)=0，即ax2=lnx+x有兩個不相等的實數(shù)根.于是，原問題可化歸為當曲線y=ax2與y=lnx+x有兩個交點時，求實數(shù)a的取值范圍.先分析曲線y=ax2與y=lnx+x相切時，參數(shù)a的取值.

圖2

令s(x)=2lnx+x-1，則因為易知函數(shù)s(x)在t(x)在(0,+)上遞增，且s(1)=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一實數(shù)根x=1.從而，可知x0=1，進而可得a=1.

接下來，再結合圖形分析.

根據二次函數(shù)的圖像規(guī)律“二次項系數(shù)的絕對值越大，則開口越小”，可知：為滿足題意，需要0

評注 上述求解的關鍵是先分析臨界情形，再靈活運用二次函數(shù)的圖像規(guī)律加以思考.

2.根據曲線與曲線相切，巧求參數(shù)的值

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間和最小值；

(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像在交點處存在公共切線，求實數(shù)a的值.

評注 本題第一問比較簡單，難點在于第二問，如何求解方程組(*)——這里采取的方法是：先消去實數(shù)a，借助(Ⅰ)的解析過程得到x0的值，再根據其中的一個方程求a的值.

綜上，多關注直線與曲線“相切”，或曲線與曲線“相切”在解題中的靈活運用，可幫助我們巧妙分析、解決一些相關的數(shù)學問題，從而不斷積累解題經驗，逐步提升解題技能.

G632

B

1008-0333(2016)28-0004-02