芻議高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧

唐家泰●

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(410000)

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芻議高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧

唐家泰●

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(410000)

幾何證明題是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考考試中出現(xiàn)頻率很高的一種題型，它主要考查了同學(xué)們的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力.在解決幾何證明題的過(guò)程中，通過(guò)采取適當(dāng)?shù)慕忸}技巧，可達(dá)到事半功倍的效果.本文根據(jù)幾個(gè)證明題實(shí)例分析了幾何問(wèn)題的幾個(gè)解決方法，同學(xué)們可以參考這些解題技巧，靈活運(yùn)用，提高自身的數(shù)學(xué)成績(jī).

高中數(shù)學(xué)；幾何證明題；解題技巧

幾何證明題在我們的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占很大一部分，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)以下幾個(gè)問(wèn)題.首先，當(dāng)我們看到這類題會(huì)存在畏懼心理，潛意識(shí)感覺(jué)題目較難，不易解答；其次，同學(xué)們經(jīng)常對(duì)幾何問(wèn)題中的概念或定義理解不深或認(rèn)識(shí)不全，在解題過(guò)程中容易出現(xiàn)偏差；再者，平時(shí)對(duì)這類題目的訓(xùn)練較少，運(yùn)算能力差，導(dǎo)致解題過(guò)程出現(xiàn)差錯(cuò)；另外，解決幾何問(wèn)題時(shí)，向量也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，一味采用普通解題方法導(dǎo)致解題過(guò)程繁雜，錯(cuò)誤頻出；最后是對(duì)幾何證明題的數(shù)學(xué)思想方法理解不足，靈活性欠缺，題目經(jīng)稍加變形或與其它題型綜合后，便不能較好地解答.下面我總結(jié)了幾個(gè)高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧，希望能給同學(xué)們帶來(lái)新的思路或解題方法.

1.添加輔助線或輔助圖形

解析幾何證明類題目，通常只有題干，沒(méi)有配圖，有些即使配有圖，但表現(xiàn)不明確，這就需要同學(xué)們自己經(jīng)過(guò)對(duì)題干的分析，畫出相應(yīng)幾何圖形，并根據(jù)條件添加適當(dāng)輔助線或輔助圖形，方便題目解答.

例1 設(shè)有一個(gè)三棱錐，D點(diǎn)為頂點(diǎn)，底面為三角形△ABC，三條棱DA，DB，DC兩兩互相垂直，P是底面△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若DP與面DBC和面DAB所成的角分別是 30°和45°，求PD與平面DAC所成角的正弦值.

解析 以DP為對(duì)角線，DA，DB，DC所在直線為三條邊，構(gòu)建一個(gè)長(zhǎng)方體.則該問(wèn)題就特殊化了：求長(zhǎng)方體對(duì)角線DP與側(cè)面DAC的夾角的正弦值.

設(shè)DP與面DBC、面DAB、面DAC的夾角分別為α、β、γ，則sin2α+sin2β+sin2γ=1. 已知條件α=30°，β=45°則sin2γ=1-(sin2α+sin2β)=1/4,所以sinγ=1/2.

2.以結(jié)論推條件

在解題過(guò)程中，可預(yù)先對(duì)結(jié)論進(jìn)行假設(shè)，把假設(shè)的結(jié)論作為條件，反過(guò)來(lái)推導(dǎo)與題干相關(guān)的結(jié)論，經(jīng)過(guò)對(duì)比明確假定結(jié)論的正確性，該方法可實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的明確性.

解析 (1) 證明sinα+sin2β=0，即是證明sinα=-sin2β；等式兩邊為不同的三角函數(shù)，可先假設(shè)兩者相等，經(jīng)過(guò)三角函數(shù)變換得到cos(π/2-α)=cos(π-2β)，即需要證明π/2-α=π-2β.這一點(diǎn)經(jīng)繪圖后可明顯看出.

3.采用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的定義就是把題干中所給出條件的數(shù)字與具體圖形一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，用直觀且簡(jiǎn)單的幾何圖形把復(fù)雜且抽象的數(shù)量關(guān)系、語(yǔ)言及位置關(guān)系直觀地表示出來(lái)，通過(guò)抽象與想象思維之間的結(jié)合，以數(shù)解形來(lái)使得復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單；抽象的問(wèn)題變得具體，成功的優(yōu)化解決問(wèn)題的途徑.

在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題時(shí)，要理清以下要素，首先要確定題目中所給的函數(shù)式具有明顯的幾何意義，能夠通過(guò)圖形表示出函數(shù)所表達(dá)的范圍；確定以三角函數(shù)、向量及復(fù)數(shù)等在幾何條件背景中成功建立的條件；明確圖形與函數(shù)、數(shù)軸與實(shí)點(diǎn)、曲線與方程等的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系.

4.分析題干信息，提取必要條件

高中數(shù)學(xué)考查的不只是同學(xué)們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，還在一定程度上對(duì)同學(xué)們的細(xì)心程度進(jìn)行檢驗(yàn).在解題時(shí)，要對(duì)題干中的一些干擾條件進(jìn)行區(qū)分，明確對(duì)結(jié)論有幫助的條件，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行題目解析，可有效地提高解題效率.“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，以上介紹的也只是解題技巧，同學(xué)們可以輕松地記憶和理解這些解題技巧，但要將這些技巧成功地運(yùn)用到解題過(guò)程中，需要我們進(jìn)行大量的題型訓(xùn)練，采用一題多練、一題多解等等方法不斷重復(fù)練習(xí)該類幾何證明題.并在此基礎(chǔ)上做好錯(cuò)題分析與歸納整理，實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程中質(zhì)量的提升.

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