“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”兩道例題的教學(xué)的思考

何金棟●

寧夏固原市隆德縣職業(yè)中學(xué) (756300)

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“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”兩道例題的教學(xué)的思考

何金棟●

寧夏固原市隆德縣職業(yè)中學(xué) (756300)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，例題的教學(xué)不只是簡(jiǎn)單討論解法，教會(huì)學(xué)生解題方法，而是要更深層次地挖掘例題所蘊(yùn)含的思想和方法，讓學(xué)生掌握一種研究知識(shí)模塊的思路和一般性的方法.

例題教學(xué)；例題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；研究方法

人教A版必修5第二章《數(shù)列》中“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”一節(jié)例3與例4的教學(xué)，由于既涉及到剛剛學(xué)習(xí)了的等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，又用到前面學(xué)習(xí)的關(guān)于一般數(shù)列的重要結(jié)論.所以，我認(rèn)為在教學(xué)中要引起教師的足夠重視，通過教師設(shè)置相關(guān)教學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與解題方法，并且能夠形成研究數(shù)列問題的一般性的流程，為后面等比數(shù)列的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)和提供探索研究的思路.先說說例3的教學(xué).

第一，一般數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí).對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，它的前n項(xiàng)和Sn的意義是，Sn=a1+a2+…+an-1+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1，n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1.

第二，這里本身就用到了一個(gè)結(jié)論:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其中p、q是常數(shù).這也是在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)討論得出的結(jié)論，而不必通過它的通項(xiàng)公式再用定義證明.

第四，完成課本例3后面的探究：一般的，如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r都是常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

再說說例4的教學(xué) .

可以看出，例3與例4的學(xué)習(xí)也是一脈相承的.就是對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)公差d≠0時(shí)是關(guān)于n的二次函數(shù)的再認(rèn)識(shí).同時(shí)再次強(qiáng)調(diào)了研究數(shù)列把它看成是關(guān)于n的函數(shù)，從函數(shù)角度來解決數(shù)列問題的方法.

要設(shè)置以下類似的相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的研究.①既然數(shù)列是函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)是函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和也是函數(shù)，那么我們就可以用研究函數(shù)的方法去研究數(shù)列、數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的前n項(xiàng)和以及與之相關(guān)的問題.

②作為函數(shù)的數(shù)列一定有最大值和最小值 嗎？

③等差數(shù)列在什么條件下會(huì)有最大或最小值？

④除了利用二次函數(shù)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，還有別的什么方法？

通過以上問題的討論，可得出以下重要結(jié)論：

一、等差數(shù)列{an}當(dāng)a1>0,d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn有最大值；當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn有最小值.

二、通過通項(xiàng)公式來求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值的方法：

經(jīng)歷以上相關(guān)問題的設(shè)置與討論，相信同學(xué)們會(huì)對(duì)等差數(shù)列有一個(gè)更深的認(rèn)識(shí)，對(duì)等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)有一個(gè)更全面的掌握，同時(shí)對(duì)后面將要學(xué)習(xí)的等比數(shù)列，提供了很好的研究思路和方法，為等比數(shù)列的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)和積累了豐富的經(jīng)驗(yàn).也為整個(gè)數(shù)列模塊的學(xué)習(xí)形成了一個(gè)一般性的研究方案.

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