一個經典模型的創新演變

許 文 ●

華中科技大學附屬中學(430074)

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一個經典模型的創新演變

許 文 ●

華中科技大學附屬中學(430074)

在物理習題中，我往往會看到如圖1所示的由兩個小球a、b與兩條細線1、2組合的物理問題.這是一個經典的模型.將此模型進行一系列的演變，可生成一個個精彩紛呈的物理習題.這種模型因經典而存在，因創新而精彩.本文通過實例解析這種模型的幾種演變.

一、平衡

例1 用輕質細線把兩個質量未知的小球懸掛起來，如圖2所示，今對小球a持續施加一個向左偏下30°的恒力，并對小球b持續施加一個向右偏上30°的同樣大小的恒力，最后達到平衡，表示平衡狀態的圖3可能的是( ).

解析 表示平衡狀態的圖是哪一個，關鍵是要求出兩條輕質細繩對小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向求出后，平衡狀態的圖就確定了.

先以小球a、b及連線組成的系統為研究對象，系統共受五個力的作用，即兩個重力(ma+mb)g，作用在兩個小球上的恒力Fa、Fb和上端細線對系統的拉力T1，因為系統處于平衡狀態，所受合力必為零，由于Fa、Fb大小相等，方向相反，可以抵消，而(ma+mb)g的方向豎直向下，所以懸線對系統的拉力T1的方向必然豎直向上.再以b球為研究對象，b球在重力mbg、恒力Fb和連線拉力T2三個力的作用下處于平衡狀態，已知恒力向右偏上30°，重力豎直向下，所以平衡時連線拉力T2的方向必與恒力Fb和重力mbg的合力方向相反，如圖4所示，故正確選項為A.

例2 質量相等的a、b兩小球用兩根等長的細線相連，懸掛于天花板下處于靜止(如5圖)，現對a球施加水平向右的恒力2F，對b球施加水平向左的恒力F.則平衡后兩球所處的狀態圖6中可能的是( ).

小結：以上兩題在分析平衡時上段細繩與豎直方向的夾角時都用到了整體法，分析下段細繩與豎直方向的夾角時用到了隔離法.是一種典型的整體法與隔離法相結合的分析方法.

例3 如圖8所示，將兩個質量均為m的小球a、b用細線相連懸掛于O點，用力F拉小球b，使整個裝置處于平衡狀態，且懸線Oa與豎直方向的夾角為θ=30°，則F的大小( ).

解析 設上段細繩上拉力為T1，對兩球系統受力分析：上段細繩上拉力為T1、重力2mg、外力F.系統在這三個力作用下處于平衡，這三個力的合力為零.平移這三個力矢量組成矢量三角形(如圖9所示).可知當F⊥T1時F的最小值為Fmin=2mgsin30°=mg，故正確選項為C．

小結：本題只要求在外力F作用下系統平衡時上段細繩與豎直方向夾角保持θ角不變，而下段細繩的方向不限，因此應考慮整體分析法.通過作出矢量圖形進行動態平衡分析，能快速找出外力F的大小范圍，從而達到問題的求解.

二、平動

例4 如圖10所示，用兩段細線分別系住質量分別為M與m(M>m)的兩個小球，手握住線的上端，若手沿水平方向向右作勻加速運動，當兩小球無相對運動時，可能的形狀是圖11中的( ).

解析 如圖12所示，設水平向右的加速度為a，上段繩子受力大小為F1，與豎直方向夾角為θ；下段繩子受力大小為F2，與豎直方向夾角為α.

小結：在分析上段細繩與豎直方向的夾角時用到了整體法，分析下段細繩與豎直方向的夾角時用到了隔離法.牛頓第二定律結合矢量圖進行分析與求解是一種常用的問題分析方法.

三、轉動

例5 如圖13所示，質量相等的a、b兩球用兩段等長的細線系于豎直桿上.當桿以某一角速度繞豎直軸旋轉時，兩段細線與豎直方向的夾角分別為α、θ，則有( ).

A．α>θB．α<θC．α=θD．以上都有可能

解析 設桿旋轉角速度為ω，每段繩長為l.上段繩子受力大小為F1，下段繩子受力大小為F2.

對a球有：F1cosα=mg+F2cosθ(1)

F1sinα-F2sinθ=mω2lsinα(2)

對b球有：F2sinθ=mω2l(sinα+sinθ) (3)

F2cosθ=mg(4)

將(4)代入(1)得：F1cosα=2mg(5)

將(4)(5)代入(2)得：2tanα-tanθ=mω2lsinα/g(6)

(3)/(4)得：

tanθ=mω2l(sinα+sinθ)/g(7)

小結：本題中a、b兩球均以相同的角速度分別繞桿上的某點在水平面內做圓錐擺運動.兩球在豎直方向上受力平衡，水平面內合力提供圓周運動的向心力.采用隔離法分別對兩球進行研究，同時結合相關的數學知識進行分析，是問題求解的關鍵.

例6 如圖14所示，質量相等的A、B兩小球分別用兩段等長的細線相連，線的一端固定在O點.開始時兩球與O點等高，兩線拉直且水平狀態.現讓兩球從圖示位置從靜止開始運動，在A球到達O點正下方的過程中，則下列說法中正確的是( ).

A．線對小球A的作用力做負功，對小球B的作用力做正功

B．線對小球A的作用力做正功，對小球B的作用力做負功

C．線對小球A、B的作用力均做正功

D．線對小球A、B的作用力均做負功

解析 設兩小球質量均為m，每段線長L/2 .假如將細線換成輕桿，兩球均繞O點做圓周運動.設桿轉到豎直位置時角速度為ω，桿對A、B球的作用力做的功分別為WA、WB.對A、B小球與輕桿組成的系統，由機械能守恒定律得：

由此可以推知，當輕桿換成細線時，兩球在下落過程中的狀態如圖15所示，A、B間的那段細線與A、B兩球的運動方向不垂直，此段細線上的拉力對A球做負功，對B球做正功.故正確選項為A.

小結：本題將細線與輕桿進行置換對比轉換分析，采用了定性分析與研究計算相結合的問題分析方法，使問題得以順利求解.

總之，兩球與兩線組合的模型可以從力與平衡、力與運動的關系、功與能的關系等角度進行多側面、多層次地拓展與創新演變.通過這種變式訓練，更有助于我們加深對知識的鞏固與深化，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性和創新性.

即學即練 1．如圖16所示，質量相等的帶電小球用絕緣細繩懸掛，小球間也用絕緣細繩連接，在水平向右的勻強電場中靜止，球間作用力不計，現將其中一根懸線剪斷，平衡時圖中不可能出現的情況是( ).

2．如圖17所示，兩段等長細線L1和L2串接著兩個質量相等的小球a、b，懸掛于O點.現施加水平向右的力F緩慢拉動a，L1對a球的拉力大小為F1，L2對b球的拉力大小為F2，在緩慢拉動的過程中，F1和F2的變化情況是( ).

A．F1變大 B．F1變小

C．F2不變 D．F2變大

3．將兩個質量均為m的小球a、b用細線相連后，再用細線懸掛于O點，如圖18所示．用力F拉小球a，使兩個小球都處于靜止狀態，且細線Oa與豎直方向的夾角保持θ=30°，則F的最小值為( ).

A．33mgB．mgC．32mgD．12mg

參考解答:

1．正確選項A.由沒有剪斷的平衡圖可知，兩球帶相同的性質的電荷，把A、B看作一個整體，可知水平方向受電場力，豎直方向受重力，根據平衡的條件則最上面的繩子不可能處于豎直狀態，A正確．

2．正確選項AC.對小球b受力分析如圖19甲所示，由平衡條件可得：F2=m2g，大小不改變，選項C正確，D錯誤；對整體受力如圖18乙所示，由平衡條件得F1cosθ-(m1+m2)g=0，在力F向右拉動過程中，L1與豎直方向的夾角θ變大，cosθ變小，故F1變大，選項A正確，B錯誤.

3．正確選項B.將a、b看成一個整體受力分析可知，當力F與Oa垂直時F最小，可知此時F=2mgsinθ=mg，選項B正確．

G632

B

1008-0333(2016)28-0054-02