基于問題式學習的《數值分析》微課設計

摘要：針對我國高校《數值分析》課程特點及教學現狀，將基于問題式學習模式應用于《數值分析》課程教學有助于提高學生學習興趣和教學質量。本文針對基于問題式學習的《數值分析》微課設計方案進行了初步探討。

關鍵詞：基于問題式學習；數值分析；微課

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）46-0176-02

一、《數值分析》課程特點及教學現狀[1]

《數值分析》課程是大、中專院校理、工、農、醫等學科重要的專業基礎課程，主要研究運用計算機解決實際問題的方法。主要包含的章節有：緒論、插值法、數值逼近、數值積分與數值微分、非線性方程求根、線性方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、矩陣特征值的計算、常微分方程初值問題數值解法。學好本門課程即要求學生有較好的數學基礎，能夠構造數值方法，并對它進行理論分析和評價，又要求學生能夠熟練運用計算機編寫程序、數值計算，最終得到近似解。通過本課程的學習，要求學生獨立思考、綜合分析、動手能力和解決問題的能力得到提高。

應用性強是該課程的主要特點。課程每個章節的內容分別是針對不同的具體問題設計的，有很強的應用背景。例如：已知物體運動的速度和加速度函數，如何得到路程函數；或已知物體運動軌跡，如何得到某點處的切線方程；如何求解一元高次方程的解；如何得到含有多個未知數線性方程組的近似解等。針對同一類數學問題，課程要求掌握多種數值求解方法，方法應用上有較強的靈活性。理論分析與動手能力并重是本門課程的另一特點。針對一個具體問題，求解的基本步驟是：首先針對具體的數學問題設計相應的數值方法，理論分析該方法的精度、穩定性、收斂性等；其次，設計出該方法對應的計算機算法，編寫、調試程序；最后，將得到的數據進行分析，結合理論分析結果，對該方法做出正確評價。

理論知識與具體問題脫節是目前《數值分析》課程教學中存在的主要問題。大部分學校《數值分析》教學仍以傳統教師講授為主，多在普通的沒有多媒體設備的教室進行。對新方法、新理論很少通過直觀的方法進行引入，如圖片、視頻等；教學過程中更多地注重計算公式的推導，精度分析，收斂性、穩定性的證明，忽視了對應用背景的合理引入，以及對具體問題的求解過程及數值實驗結果的正確分析。

課程結束后的預期效果是：要求學生在處理具體問題時，首先根據給定的條件對問題進行分析，找到最適合的數值方法，對數值方法進行恰當的理論分析與證明，然后開展數值實驗，對數值實驗數據進行正確分析，最終得出結果。而目前傳統教學方法卻達不到預期效果。課程結束后，針對個人不同學習情況，許多學生只是片面地掌握了部分數值方法和技術，如有的學生偏重理論證明，有的學會應用公式計算，有的掌握了一些編程技術等，很少學生能夠完成一個具體問題的完整求解過程，達不到提高學生獨立思考、綜合分析、解決具體問題的能力的教學目的。

二、基于問題式學習[2]

基于問題式學習主要是通過引導學生合作解決教師設計的實際問題，在解決問題的過程中學習問題背后的科學知識，達到培養學生自主學習、團體合作以及解決問題能力的目的。基于問題式學習強調以解決具體問題為中心，注重學生團體間的交流與合作，教師在其中的作用是對學生進行引導和外部支持。

通過上文對《數值分析》課程特點的分析，該課程每個章節對應一類具體問題，每一類問題中根據不同的條件又有不同方法求解，且解決一個具體問題時需要進行初始數據調研、理論分析、數值實驗、數據分析這四個基本步驟，適合團體協作完成。

比對《數值分析》課程及基于問題式學習模式的特點，我們發現，基于問題式學習模式非常適合使用在《數值分析》課程的教學中。鑒于此，本文以第二章插值法為例，對將問題式學習模式應用于《數值分析》課程教學進行了初步探索。[3-4]

三、基于問題式學習的《數值分析》微課方案設計

微課是教師錄制成的針對某個知識點短小而相對較完整可直接播放的教學活動視頻，其主要特點是“短小精悍”。在“微課”設計、制作過程中，教師要緊緊圍繞學科的某個知識點，比如：重點、難點等，依照教學目標，利用多媒體及其他直觀教學工具，精心設計課程、制作視頻，從而達到與傳統長時間教學同樣甚至更好的教學效果。作為一種新型的教學資源，微課是傳統課堂的有益補充和資源拓展，便于學習者隨時隨地地進行線上或線下學習。將微課與傳統教學相結合的新型教學模式有利于提高教學質量。

下面就以《數值分析》課程第二章插值法為例，初步探討基于問題式學習的微課設計方案。

插值法研究的是這樣一類問題，通過觀測、測量得到曲線上的一些離散點坐標，通過插值法得到曲線方程的近似函數和未知點近似坐標值。插值法的應用在日常生活中較常見，如空投救援物資時，根據物資運動軌跡，預測物資落地點；計算不規則形狀湖泊面積；通過觀測得到的流星出現位置，判斷流星與其他物體相撞的可能性。[5-6]

基于問題式學習的微課設計方案：

1.分組。首先教師向學生解釋完成任務的四個基本步驟：初始數據調研、理論分析、數值實驗、數據分析。以30個學生的教學班為例，每5人分為一組，共6組，要求學生根據任務步驟及學生的特點進行自由組合，在教師協助下完成分組。

2.布置與分配任務。由教師設計6個具體任務，任務設置難易適當，各個任務要求各有特點，解決這些問題應盡量用到課程所介紹的各種不同方法。并由各小組抽簽分配任務。

插值法任務：（1）已知鉛球運動軌跡圖，預測鉛球落地點；（2）已知足球射門視頻片段，預測是否命中；（3）空投救援物資時，根據物資運動軌跡圖，預測物資落地點；（4）已知形狀不規則湖泊圖片，計算湖泊邊界曲線方程；（5）已知沙漠綠州圖片，計算綠州邊界曲線方程；（6）根據流星出現位置圖片，判斷流星與地球相撞的可能性。

3.制定、公布任務評價細則。在完成要求的四個基本步驟后，根據完成情況分成以下四個等級：不能完成、基本完成（一次性輸入3個固定點作插值）、較好完成（一次性輸入3個以上固定點作插值）、優秀（可自由選擇和增加插值點個數）。

4.教師制作微課視頻，供學生自由在線或下載學習，視頻時長不超過二十分鐘。每節微課介紹一種插值方法，分別為：插值法基本原理、拉格朗日插值、牛頓插值、埃爾米特插值、分段低次插值。

5.活動匯報及答辯：學生利用PPT匯報小組解決具體問題過程及結論展示，并針對教師、其他組學生的提問進行答辯。

6.總結評價與查漏補缺：由教師完成總結與評價，并對學生掌握不好的問題，章節中沒有用到的方法和內容進行講解和分析。

在以上六個任務中，首先要求學生將任務圖片或視頻定位在直角坐標系下，測量出若干離散點坐標，在測量的過程中，可采用等距測量的方法，也可采用不等距的方法，不同的測量方法所使用的插值法不同；第二步，要求學生學習微課內容，選擇最適合的插值方法，如已知等距節點坐標可選擇牛頓插值法；已知不等距節點坐標可選擇拉格朗日插值法；已知不等距節點坐標值及節點處的一階導數值（節點切線斜率）可選擇埃爾米特插值法；節點個數固定可選擇牛頓插值、分段低次插值、拉格朗日插值、埃爾米特插值法；能夠隨時增加節點可選擇牛頓插值法；節點個數超過8個選擇分段低次插值法。其中，各種插值方法的特點及構造原理、使用方法等均可在微課中學習到，學生選擇的方法越靈活，精度越好，則得到的分值越高。第三步，編寫、調試程序。要求程序首先能完成所要求的基本任務，其次程序要與用戶有較好的交互性、可讀性；第四步，分析實驗數據，并與理論分析結果進行比較。通過理論分析，得到該插值方法的估計誤差；將數值實驗結果與實際問題結果比較，得到實驗誤差，將實驗誤差與理論估計誤差進行比較，從而驗證理論分析結果。

基于問題式學習的《數值分析》微課設計方案，通過組織學生合作解決教師設計的實際問題，在解決問題的過程中利用教師錄制的微課進行靈活、自主學習，從而達到培養學生自主學習、團體合作、動力能力以及解決實際問題等綜合能力的目的。

參考文獻：

[1]王燕.基于學生創新能力培養的數值課程教學改革和實踐[J].科教文匯：下旬刊，2011，（6）.

[2]張建偉.基于問題式學習[J].教學研究與實驗，2000，（3）：55-60.

[3]胡鐵生.“微課”：區域教育信息資源發展的新趨勢[J].電化教育研究，2000，（3）：55-60.

[4]吳曉茜.利用微課促進信息技術教學的有效途徑[J].現象透視，2013，（7）：37-40.

[5]黃兵.《數值分析》課程教學改革的幾點思考[J].重慶教育學院學報，2005，18（6）：13.

[6]梁樂明，曹俏俏，張寶輝.微課程設計模式研究——基于國內外微課程的對比分析[J].開放教育研究，2013，（2）.