混合理性行為下動態古諾博弈模型的演化

甄 燁，王文利

（1.太原科技大學 經濟與管理學院，太原030024；2.山西師范大學戲劇與影視學院，山西 臨汾041004；3.上海交通大學 安泰經濟與管理學院，上海200030）

混合理性行為下動態古諾博弈模型的演化

甄 燁1，2，王文利1，3

（1.太原科技大學 經濟與管理學院，太原030024；2.山西師范大學戲劇與影視學院，山西 臨汾041004；3.上海交通大學 安泰經濟與管理學院，上海200030）

現實中大多企業都是有限理性的，但是有限理性的企業能夠通過支付一定的信息成本，使自己成為完全理性的。文章研究了混合理性行為下動態古諾模型的演化，給出了理性行為決策和產量決策的復制動態方程組，求得了模型的均衡解并對其進行了穩定性分析。結果表明：在混合理性行為下，博弈雙方通過動態調整策略，會得到與完全理性行為下靜態古諾模型一致的穩定解。

古諾模型；混合理性；穩定性；復制動態方程；演化

0 引言

古諾模型是博弈論中的經典模型，用以考察一個行業中僅有兩個生產企業的雙寡頭壟斷情況下，生產企業的產量決策問題。基于不同前提假設，古諾模型也得到了不斷的修正和發展。如將兩個企業發展到多個企業[1]，需求由線性發展到非線性[2]，邊際成本由相同、不變發展為不同、動態變化[3]等。這些模型都是以博弈方具有完全理性為基礎的，即博弈方在追求最大利益的理性意識、分析推理能力、識別判斷能力、記憶能力和準確行為能力等多方面都具有完美性。但對于現實中的決策行為者來說完全理性是很難滿足的高要求，當社會經濟環境和決策問題較復雜時，人們的理性局限是很明顯的[4]。

近年來，關于有限理性條件下的古諾模型的研究引起了許多學者的興趣，Bischi等人研究了一個具有線性成本的有限理性的雙寡頭博弈模型[5]。Elsadany A A以及姚洪興和張芳研究了一個具有時滯效應的有限理性雙寡頭博弈模型[6，7]。Agiza等研究了具有非線性成本的有限理性多寡頭博弈模型[8]，后又研究了雙寡頭博弈模型中的復雜動態性和同步現象[9]。陳曙和姚洪興研究了非線性需求下有限理性的多組動態古諾模型[10]。易余胤等研究了不同行為規則下雙寡頭博弈模型的分叉和混沌現象[11]。于維生和于羽研究了有限理性下伯川德模型及其穩定性問題[12]。在有限理性博弈中，假設博弈方掌握的信息是不完全的，或具備的能力是不完美的，這一假設符合現實情況。但現實中企業可以通過付出一定的成本獲取不完全的信息，或聘請有預見分析能力的中介機構來完成最優策略的選擇。企業在博弈之前，首先要選擇執行有限理性行為還是完全理性行為，然后再執行產量決策。我們把這種古諾模型稱為混合理性行為下的動態古諾博弈模型，本文主要討論這種模型的均衡解及解的穩定性，并比較它和一般古諾模型的區別。

1 非混合理性行為下的古諾模型

1.1 完全理性行為下古諾模型的均衡解

設市場上有兩家企業生產同樣的產品，企業i的產量為qi(i=1，2)；市場出清價格（可以將產品全部賣出去的價格）是由雙方的產量決定的一個線性逆需求函數p=a-qi-qj(i，j=1，2，i≠j)，其中a為常數，企業的單位成本為c(0＜c＜a)。企業i的利潤函數為:

令?πi/?qi=0，即可得一個企業對另一個企業的產量反應函數：

求解式（2），得：

因此完全理性條件下，策略組合[(a-c)/3，(a-c)/3]是古諾博弈唯一的納什均衡。

1.2 有限理性行為下古諾模型的動態調整機制

上述古諾模型中，假設博弈雙方是完全理性的，即企業知道對手企業的利潤、反應函數，且有預見能力；企業也知道對手企業知道自己的利潤、反應函數，且有預見能力。但現實中，企業往往是有限理性的，即只知道自己的利潤、反應函數，以及本期對手企業的產量決策，不知道對手企業下一期的策略。有限理性的企業在每一期根據對邊際利潤的估計來更新他們的生產策略：如果本時期的邊際利潤是正（負）的，那么企業將增加（減少）下一期的產量，增加（減少）的量與邊際利潤、本期產量成比例，企業i下一期的產量可表示為：

2 混合理性行為下古諾模型的均衡解

混合理性條件下，企業既可以采取有限理性對產量進行動態調整，此時企業不知道對手企業會采取的策略，也可以采取完全理性進行最優產量決策，但此時企業需要付出一定的成本T(T＞0)去獲取對手企業的策略信息。假設時期t，企業采取完全理性行為的概率為pt(0≤pt≤1)，完全理性行為下企業的產量決策為有限理性行為下企業的產量決策為則采取完全理性行為的企業下一期的產量決策為：

求解式（5），得：

采取有限理性行為的企業在進行下一期產量決策時，由于只知道本期對手企業采取完全理性行為的概率和各種理性行為下的產量決策，因此企業對對手企業產量決策的估計只能用來表示，結合式（4）和式（6），可得混合理性下選擇有限理性的動態調整函數為：

假設博弈的時間間隔很小，即將離散動態調整函數連續化為：

企業下一期采取何種理性行為模式，是與其本期采用的理性行為模式所獲得的收益有關，本期采用完全理性行為所獲收益和有限理性行為所獲收益分別為：

若企業采取完全理性行為獲得的收益高于企業平均收益，則企業將在下一期增加選擇完全理性行為的概率，否則將減少下一期選擇完全理性行為的概率。企業理性行為策略的選擇可用演化博弈論中的復制動態方程[13，14]表示如下：

其中，πˉt表示本期企業的平均收益。聯立式（8）和式（11）即可得混合理性行為下動態古諾模型的非線性演化方程組，為方便起見，分別用和表示如下：

3 混合理性行為下古諾模型均衡解的穩定性分析

定理1：對于古諾模型的均衡解[(qtB)*，pt*]，若存在q0B＜(qtB)*，使得任意q0B＜qtB＜(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＞0成立，且 存 在 q1B＞(qtB)*，使 得 任 意 (qtB)*＜qtB＜q1B，有Q(pt*，qtB)＜0成立 ；同時 存在 p0＜pt*，使得任意p0＜pt＜pt*，有P[pt，(qtB)*]＞0成立，且存在 p1＞pt*，使得任意 pt*＜pt＜p1，有 P[pt，(qtB)*]＜0成立，則均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的局部穩定解。

證明：在(q0B，q1B)內，對于任意偏離均衡點[(qtB)*，pt*]的解 (qtB，pt*)，若 qtB＜(qtB)*，因為 Q(pt*，qtB)＞0，故qtB+1=qtB+Q(pt*，qtB)＞qtB，若qtB+1=(qtB)*，則 Q(pt*，qtB+1)=0，qtB+2=qtB+1，穩定，若qtB+1＜(qtB)*，則Q(pt*，qtB)＞0，繼續演化，直到qtB+n=(qtB)*，此時Q(pt*，qtB+n)=0，qtB+n+1= qtB+n，趨于穩定。若 qtB＞(qtB)*，因為 Q(pt*，qtB)＜0，故qtB+1=qtB+Q(pt*，qtB)＜qtB，若qtB+1=(qtB)*，則 Q(pt*，qtB+1)=0，qtB+2=qtB+1，穩定，若qtB+1＞(qtB)*，則Q(pt*，qtB)＜0，繼續演化，直到qB=(qB)*，此時Q(p*，qB)=0，qB=qB，t+nttt+nt+n+1t+n趨于穩定。同理可以證明，在(p0，p1)內，對于任意偏離均衡點[(qtB)*，pt*]的解[(qtB)*，pt]，經過演化，最終會回到均衡點pt+n=pt*，趨于穩定。證畢。

定理2：對于古諾模型的均衡解[(qtB)*，pt*]，若在可行解域的開區間(q0B，q1B)(p0，p1)內，所有的 qtB＜(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＞0成立，且所有的qtB＞(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＜0成立；同時所有的 pt＜pt*，有P(pt，(qtB)*)＞0成立，且所有的pt＞pt*，有P(pt，(qtB)*)＜0成立，則均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的全局穩定解。

證明：同定理1的證明，將范圍從(q0B，q1B)和(p0，p1)擴大到所有可行解域的開區間，可以證明均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型所有可行解域的開區間的局部穩定解，又因為當 q0B＜qtB＜(qtB)*時，Q(pt，qtB)＞0，當 (qtB)*＜qtB＜q1B時，Q(pt，qtB)＜0，當 p0＜pt＜pt*時，P(pt，qtB)＞0，當 pt*＜pt＜p1時，P(pt，qtB)＜0，故當qtB=q0B，qtB=q1B，pt=p0，pt=p1時，一旦偏離，古諾模型都會演化到qtB=(qtB)*，pt=pt*，即均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的全局穩定解。證畢。

用上述定理分析混合理性行為下動態古諾模型的穩定解，當qtB＜0時，Q(0，qtB)＜0，故E1=[(qtB)*=0，pt*=0]不是穩定解；當qtB＜0時，Q(1，qtB)＜0，故E2=[(qtB)*=0，pt*=1]也不是穩定解；當 pt＜0時，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt) (-T)＞0，且當0＜pt＜1時，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt)(-T)＜0，同時，當0＜qtB＜(a-c)/3時，Q(0，qtB)＞0，且當qtB＞(a -c)/3時，Q(0，qtB)＜0，故E3=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=0]是穩定解，且為全局穩定解；當0＜pt＜1時，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt)(-T)＜0，故E4=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=1]不是穩定解。圖1顯示了混合理性行為下古諾模型的復制動態相位圖，圖2顯示了混合理性行為下古諾模型復制動態的穩定性，從圖中可以很清楚的看到動態古諾模型解的演化。

圖1 古諾模型復制動態相位圖

圖2 古諾模型復制動態的穩定性

通過以上分析可以知道，E3=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=0]為動態古諾模型唯一的全局穩定解，即博弈雙方都選擇有限理性行為，且最終產量都為(a-c)/3，這與完全理性行為下，靜態古諾模型的均衡解一致。這說明在混合理性行為下，博弈雙方通過動態調整策略，最終也能達到完全理性行為下的均衡，并且此時不需要再花費額外的成本去獲取完全理性行為所需要的完美信息。但有一點需要說明，穩定解得出的前提條件是假設T＞0，即企業獲得完美信息必須花費一定的成本，不管成本大小如何，都能得到相同的穩定解。

4 結論

現實中很多企業都是有限理性的，但是有限理性的企業能夠通過付出一定的信息成本，使自己成為完全理性的。在這種混合理性行為下，處于古諾博弈模型中的企業雙方往往需要進行兩項策略選擇：理性行為決策和產量決策。運用演化博弈中的復制動態方程對古諾模型中企業決策行為進行建模，通過求均衡解及對均衡解的穩定性進行分析，發現混合理性行為下，博弈雙方通過動態調整策略，會得到與完全理性行為下靜態古諾模型一致的穩定解，這說明本文設計的博弈機制是有效的。本文的結論可以推廣到多企業古諾模型中，但本文沒有對博弈學習的速度進行分析，這將是以后要研究的方向。

[1]張明善,唐小我.多個生產商下的動態古諾模型分析[J].管理科學學報,2002,5(5).

[2]Naimzada A,Sbragia L.Oligopoly Games With Nonlinear Demand and Cost Functions:Two Boundedly Rational Adjustment Processes[J]. Chaos Solitons&Fractals,2006,29(3).

[3]Matsumoto A,Nonaka Y.Statistical Dynamics in a Chaotic Cournot Model With Complementary Goods[J].Journal of Economic Behavior &Organization,2006,61(4).

[4]喬根·W·威布爾.演化博弈論[M].王永欽譯.上海：三聯書店，2006.

[5]Bischi G I,Naimzada A.Global Analysis of a Dynamical Duopoly Game With Bounded Rationality[A].Advanced in Dynamical Games and Application[D].Base:l Birkhanser,1999.

[6]Elsadany A A.Dynamics of a Delayed Duopoly Game With Bounded Rationality[J].Mathematical and Computer Modelling,2010,(52).

[7]姚洪興,張芳.帶時滯的多寡頭古諾模型及其穩定性[J].系統工程, 2011,29(11).

[8]Agiza H N,Hegazi A S.The Dynamics of Bowley’S Model With Bounded Rationality[J].Chaos Solitons and Fractals,2001,（12）.

[9]Agiza H N,Hegazi A S，Elsadany A A.Complex Dynamics and Syn?chronization of a Duopoly Game With Bounded Rationality[J].Mathe?matics and Computers in Simulation,2002,58(2).

[10]陳曙,姚洪興.兩組動態古諾模型的穩定性分析[J].統計與決策, 2008,（6）.

[11]易余胤，盛昭瀚，肖條軍.不同行為規則下的Cournot競爭的演化博弈分析[J].中國管理科學，2004,12(3).

[12]于維生,于羽.基于伯川德推測變差的有限理性[J].數量經濟技術經濟研究,2013,（2）.

[13]Friedman D.On Economic Applications of Evolutionary Game Theo?ry[J].Journal of Evolutionary Economics,1998,(8).

[14]Hofbauer J,Sigmund K.Evolutionary Games and Population Dynam?ics[M].Cambridge：Cambridge University Press,1998.

（責任編輯/易永生）

F713

A

1002-6487（2016）23-0048-03

國家自然科學基金資助項目(71402112)；教育部人文社會科學研究青年基金資助項目（14YJCZH153）；山西省高校哲學社會科學研究項目（2014247）