新Lorenz曲線模型及應用

杜文超，劉亞相

（西北農林科技大學 理學院，陜西 楊凌 712100）

新Lorenz曲線模型及應用

杜文超，劉亞相

（西北農林科技大學 理學院，陜西 楊凌 712100）

Lorenz曲線作為分析國家收入分配狀況的重要工具，近年來得到廣大學者的關注和廣泛應用。文章提出了新的Lorenz曲線模型，通過Monte Carlo數值模擬及實際應用分析，并與十個經典的Lorenz曲線模型作對比，來說明新模型的優越性和合理性。

Lorenz曲線；新模型；數值模擬；實際應用

0 引言

在經濟學研究領域，Lorenz曲線是分析國民收入和財富分配狀況的重要工具，并受到廣泛應用。Lorenz曲線首先由Max Otto Lorenz提出，隨后受到許多學者的關注。目前，Lorenz曲線模型的建立主要有3種方法：幾何算法、曲線擬合法和分布函數法。本文討論的內容屬于曲線擬合法，基于前人的研究，根據Lorenz曲線所具有的性質，構造了新的Lorenz曲線模型。

1 模型的建立

1.1 orenz曲線的定義

Lorenz曲線L(p)表示的是收入小于或等于x的人口所擁有的收入占總收入的比例，即:

其中，μ是平均收入，x表示收入，f(x)是收入分配的密度函數。記收入分布函數為F(x)，p=F(x)表示收入小于或等于x的人口比例，F-1(p)表示F(x)的反函數，那么Lorenz曲線還可以表示為:

1.2 Lorenz曲線的性質

由定義可知Lorenz曲線L(p)具有如下性質，

性質1也是使函數L() p成為Lorenz曲線的充分必要條件。1999年Jose-Maria Sarabia等人研究了Lorenz曲線的衍生模型，提出如下性質:

性 質2：若 L(p )是 一 個Lorenz曲 線 ，考 慮Lα(p)=pαL(p)，α≥0，

當α≥1時，Lα(p)是一個Lorenz曲線；

當0＜α≤1，且L?(p)≥0時，Lα(p)是一個Lorenz曲線。

2011年，王祖祥等人在Sarabia等人研究的基礎上，進一步分析了Lorenz曲線，擴充了Lorenz曲線的性質，提出性質3。

性質3：假設 f(p)和g(p)都是Lorenz曲線。那么L(p)=f(p)αg(p)υ也是Lorenz曲線，只要下面任一條件成立：

①α≥1，υ≥1；

[ ]

0，1上遞增；

1.3 新模型的構建

Kakwani和Podder（1923）提出了較早的Lorenz曲線模型：

隨后，Rasche et al（1980）、Gupta（1984）、Chotikapanich（1993）、Jose-Maria Sarabia和Enrique Castillo（1997）相繼提出如下Lorenz曲線的經典模型：

2009年，Wang等人根據Schader和Schmid于1994年提出的模型

在模型（7）的基礎上用e-γp替換了ηpγ，提出了如下模型：

并指出該模型比基于Pareto分布而得到的Lorenz曲線基礎模型：

具有更高的擬合精度。此外，國內外學者還提出了許多衍生的Lorenz曲線模型，例如：

本文利用Lorenz曲線的性質，基于前人提出的基礎模型，構造了如下四個新模型：

令f(p)=1-e-ap(1 -p)b，g(p)=1-(1-p)c。則當0＜b≤1，0≤a+b≤時，f(p)為Lorenz曲線模型（8）且f?(p)≥0；當0＜c≤1時，g(p)為Lorenz曲線基礎模型（10）；當0＜c≤1，d≥1時，g(p)d為Lorenz曲線模型（5）。由 Lorenz曲線的性質 1可知，當 0＜b≤1，0≤a+b≤， 0＜c≤1 時 ， 均 有f′(p)≥0，f″(p)≥0，g′(p)≥0，g″(p)≥0，進而當m∈[0 ，1]時有 L11′(p)≥0，L11′(p)≥0，p∈[0 ，1] 。且 L11(p)滿足L11(0)=0，L11(1)=1。故L11(p)為Lorenz曲線模型。同理可知當0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1，m∈[0 ，1]時，L12(p)也為Lorenz曲線模型。再根據性質3可得，當0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1時，L13(p)為Lorenz曲線模型；當0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1時，L(p)也為Lorenz曲線模型。14

2 模型數值模擬比較

基于Monte Carlo數值模型，對本文提出的四個Lorenz曲線新模型與已有的十個經典Lorenz曲線模型的擬合結果進行對比，來表明其擬合效果。

成邦文（2005）指出，社會經濟規模指標近似服從對數正態分布。由此，本文假定收入變量X～lnN(μ ，σ)，F(x)為X的分布函數，則Lorenz曲線上任一點所對應的橫坐標滿足p=F(x)，且Lorenz曲線滿足L(p)=Φ(Φ-1(p)-σ)，其中Φ與Φ-1分別表示標準正態分布函數及其逆函數。由Lorenz曲線與收入分布函數之間關系，利用Monte Carlo數值模擬方法，生成服從對數正態分布的隨機數，再分別計算收入分布函數值及Lorenz曲線函數值，進而估計Lorenz曲線模型。

本文采用最常用的三個指標來比較擬合效果：均方根誤差（RMSE）、平均絕對誤差（MAE）以及最大絕對誤差（MAS）。為使得模擬結果不失一般性，本文取μ=0，σ=1，模擬100次，結果如圖1至圖3所示。圖1至圖3分別給出了模型L1～L14擬合效果指標RMSE、MAE、MAS的箱線圖。在圖中，箱線圖的高低代表了模型擬合誤差的大小，箱體觸須的長短則代表了模型擬合效果的穩定程度。在圖1中，本文提出的模型L14擬合效果最好，其次為L12、L13和L7；在圖2中，L14仍表現最佳，其次為L12和L13；在圖3中，模型L14要較之其他模型有明顯的優勢，其次為L12和L13。綜合圖1至圖3，可以看出本文提出的模型L14具有非常好的擬合效果，并且擬合結果穩定；其次，本文提出的模型L12、L13相較于已有模型也具有較好的擬合效果，L11略次之。

圖1 均方根誤差箱線圖

圖2 平均絕對誤差箱線圖

圖3 最大絕對誤差箱線圖

3 模型的實際應用

本文選用2013年第十屆華為杯全國研究生數學建模競賽“中等收入定位與人口度量模型研究”中的數據來檢驗模型實用性。本文所使用的原始數據見表1至表3所示。其中，競賽E題表1收入分配分組數據用來比較新模型與已有模型的擬合效果；表2和表3收入分配分組數據則用來檢驗新模型對Lorenz曲線的描述能力。

表1 收入分配分組數據

表2 收入分配分組數據(地區A，年份之一)

表3 收入分配分組數據(地區A，年份之二)

3.1 擬合效果比較

運用Lorenz曲線模型L1(p)～L14(p)分別對競賽E題中的表1收入分配分組數據進行擬合，擬合效果如表4所示。從表中可以看出，擬合效果最好的為本文提出的四個模型L11(p)、L12(p)、L13(p)、L14(p)，并且相較于已有模型，具有明顯的優越性，其中L14(p)表現最佳，誤差最小。

表4 Lorenz曲線模型擬合結果

3.2 新模型實際應用

為更好地說明新模型的優越性和合理性，本文選用L12(p)和L14(p)模型對競賽E題中表2和表3收入分配分組數據進行擬合，從而檢驗新模型的實用性及對Lorenz曲線的描述能力。

L12(p)、L14(p)對地區A在年份一和年份二的收入分配分組數據擬合效果如圖4和圖5所示，其中黑色實線是真實Lorenz曲線，黑色虛線是模型擬合的Lorenz曲線。

圖4 地區A在 L12(p)模型下擬合的Lorenz曲線

從圖4和圖5中可以看出L12(p)與L14(p)模型擬合出的Lorenz曲線幾乎與真實Lorenz曲線完全重合。在圖4中，新模型L12(p)對年份一和年份二數據的擬合都表現出當p=0.7至p=0.9時誤差變大，該模型低估了高分位點的總收入比重，因此由該模型計算的Gini系數將比真實值偏大。在圖5中，新模型L14(p)對數據的擬合也出現了低估高分位點總收入比重的情況；在年份一中，當p處于0.8附近時，該情況表現明顯；在年份二中，該情況得到明顯的改觀，擬合曲線幾乎完全逼近真實曲線。總體來說，新模型L12(p)和L14(p)均具有很好的擬合效果，都能夠幾乎準確的表現真實Lorenz曲線，其中L14(p)表現更好，誤差更小。

圖5 地區A在L14(p)模型下擬合的Lorenz曲線

4 結論

本文利用Lorenz曲線的性質，在前人研究的基礎上，提出了四個新Lorenz曲線模型，通過數值模擬和實際應用，新模型較之已有模型，表現出明顯的優越性和有效性，新模型能很好的逼近真實Lorenz曲線，更加精確地描述真實Lorenz曲線，反映收入分布狀況。新模型對于計算Gini系數以及更深一步的研究，具有很好的利用價值和參考意義。

[1]Ogwang J,Rao U L G.Hybrid Models of the Lorenz Curve[J].Econom?ics Letters,2000,(69).

[2]Sarabia J M,Castillo E,Pascual M,et al.Mixture Lorenz Curves[J].Eco?nomics Letters,2005,(89).

[3]Wang Z X,Ng Y K,Smyth R.A General Method for Creating Lorenz Curves[J].Review of Income and Wealth,2011,57(3).

[4]Wang Z X,Smyth R.A Hybrid Method for Creating Lorenz Curves[J]. Economics Letters,2015,(129).

[5]許啟發.一個新的Lorenz曲線模型[J].數量經濟技術經濟研究, 2014,(11).

[6]成邦文.基于對數正態分布的洛倫茲曲線與基尼系數[J].數量經濟技術經濟研究,2005,(2).

[7]楊寶瑩.廣義Lorenz曲線的非參數統計推斷[J].中國科學：數學, 2012,(3).

（責任編輯/浩 天）

F222.3

A

1002-6487（2016）23-0077-03

杜文超（1991—），女，黑龍江伊春人，碩士研究生，研究方向：居民收入分配及消費。

（通訊作者）劉亞相（1962—），男，陜西寶雞人，博士，教授，研究方向：博弈論、金融數學、經濟數學。