基于M-Copula函數的國債期貨合約尾部相關性研究

楊寶臣，張德鴻

（天津大學 管理與經濟學部，天津 300072）

基于M-Copula函數的國債期貨合約尾部相關性研究

楊寶臣，張德鴻

（天津大學 管理與經濟學部，天津 300072）

文章以混合Copula函數對三類Archimedean族Copula函數進行整合，研究了我國5年期跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅之間的尾部相關關系，利用慣性權重粒子群算法對混合Copula函數的參數進行優化，并比較了混合Copula函數與傳統Copula函數對跨期國債期貨合約尾部相關性的擬合能力。研究結果表明：基于慣性權重粒子群算法的混合Copula函數較好地刻畫了跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅尾部非線性、非對稱的相關特征，根據對該特征的把握可以構建能夠產生超額收益的交易策略。

尾部相關性；M-Copula；粒子群；國債期貨

0 引言

隨著中國利率市場化進程的推進，復雜的世界經濟環境進一步加劇了利率波動的風險，我國不斷推出各種金融工具以解決這一過程中所產生的利率風險敞口。在這一背景下產生的國債期貨是我國利率市場化過程中的重要環節和整個體系的重要組成部分。目前我國金融市場內生的調節機制已逐步完善，并擺脫了弱式有效階段，但由于市場起步較晚，仍未能完全轉變為一個強式有效的市場，存在獲取超額收益的空間，而通過金融資產間的相關性獲取超額收益是一種較為常見的方式，根據相關性構建盈利規則獲取超額收益的前提是找到一種合適的方法測度金融資產之間的相關關系。

本文采用帶慣性權重的粒子群算法對混合Copula模型的權重參數進行優化（SAPSO-M-Copula），通過多次迭代，該算法可將混合Copula函數的權重參數調整到最佳的區間，以此達到更準確的擬合效果并刻畫出跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅間的尾部相關關系，根據發現的相關性構建交易規則并據此取得超額收益。首先，該模型通過Copula函數有效識別跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅間的尾部相關性，不存在傳統相關性測度中無法擬合尖峰厚尾分布的弊端；其次，該模型通過帶慣性權重的粒子群算法對參數進行優化，改進了人為分配各類傳統Copula函數所占權重參數的不足。利用該交易規則測算我國5年期跨期國債期貨TF00、TF01、TF02合約結算價日漲跌幅間的尾部相關性，并采用TF00與TF01合約為例進行模擬交易，在0.15%的交易分位點上可獲得98.56%～161.92%超額收益。

1 模型理論基礎

1.1 Copula函數

Sklar（1959）[1]建立了基本的Copula理論，通過對多個變量的聯合分布進行拆分，可以得到多個邊緣分布和一個用來描述這些變量間關聯關系的函數，這一函數即被稱作Copula函數。采用Copula函數可較為便捷的對尖峰厚尾特征進行處理。韋艷華和張世英（2004）[2]提出使用Copula函數得出的連續性和關聯性測度可以更加便捷的捕捉金融資產間的相關關系，且采用不同的Copula函數在進行相關關系測度時可以產生不同的側重效果。隨著數據處理能力的提升，以Leitner（2005）[3]為代表的學者開始運用計算機技術，將Copula函數能夠描述相依結構的性質引入金融市場的分析中。

混合Copula函數的概念是由Hu L（2002）[4]在其博士論文中首次提出的（后文中記為M-Copula函數），旨在通過對幾種Copula函數的取長補短來達到最優的擬合效果。目前在構造M-Copula函數中最為常用的是Archimedean族中的三類Copula函數，分別為Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數與Frank Copula函數。由于這三種函數分別對不同的尾部特征具有出色的描述能力，若僅選取Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數與Frank Copula函數中的一個就只能反映金融資產的某一部分特性，無法全面描述金融資產間的相關性，因此將這三個用來描述相關性的Copula函數進行整合并構建一個M-Copula函數，函數的表達式為：

其中wG、wCl、wF分別表示Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數與Frank Copula函數在M-Copula函數中所占的權重，根據其包含的三種Copula函數分布函數及密度函數可以確定，M-Copula函數的權重參數為(wG,wCl,wF)，相關參數為（θ，α，λ）。后續工作中的關鍵便是估計M-Copula函數中設定的參數，多位學者提出通過構建M-Copula模型表示金融產品間的相關關系，但均人為設定權重，無法將擬合程度提升到最優。吳吉林和孟紋羽（2014）[5]提出可假設參數為時間的函數，并運用局部極大似然估計法估計權重系數和相依參數，雖通過蒙特卡洛模擬證明了較好的擬合效果，但對模型經濟意義的解釋較為困難。

1.2 帶慣性權重的粒子群算法原理

Kennedy和Eberhart(1995)[6]提出了粒子群優化算法，它是一種基于群體的具有全局尋優能力的優化工具。其基本思想如下：

將優化對象的解抽象為N維空間中的微粒i，其位置和速度均以矢量表示為：

將多次迭代中的t時刻微粒的最佳位置Pbest以及種群最佳位置gbest通過式（3）、式（4）進行更新，其中C1，C2為學習因子，r1，r2為取值在[0 ，1]區間的隨機數。

但該算法缺乏有效的約束與控制，無法平衡局部搜索與全局最優，Shi Y（1998）[7]提出利用慣性權重因子進行優化的改進型粒子群算法，通過慣性權重ω的使用，調整了模型的搜索能力。張項學等（2008）[8]在此基礎上發展出逐步調整慣性權重的自適應粒子群算法，并與已有的4種算法進行比較，證明該算法提升了運算的結果和效率。采用慣性權重粒子群算法對M-copula模型中的權重值進行優化，可以在保證效率的前提下得到更具擬合性的結果。

2 基于我國跨期國債期貨合約的實證檢驗

2.1SAPSO-M-Copula模型的建立

利用SAPSO方法對M-Copula函數構建過程中關鍵權重的選取進行優化，鑒于M-Copula中包括wG，wCl，wF三個權重值，且滿足wG+wCl+wF=1，則將wG，wCl視為待優化變量，算法過程如下：（1）初始化粒子的速度和位置；（2）計算粒子適應性；（3）計算個體最優；（4）計算全局最優；（5）根據動態慣性權重對粒子速度與位置進行更新；（6）判斷是否滿足判定條件，如果滿足則輸出結果，不滿足則返回步驟（2）進行迭代。

2.2 國債期貨合約數據處理與描述性統計分析

實證分析的樣本選取我國5年期國債期貨TF00、TF01、TF02合約每日結算價漲跌幅ri，時間跨度從2013年9月6日至2015年6月12日，包含了已完成交割的全部七期國債期貨合約數據共429組，數據來源于Wind數據庫。

為確保數據特征與模型相適應，首先對取得的429組數據進行描述性統計，由單位根檢驗結果可知，合約的日漲跌幅數據平穩，無需進行差分處理，通過偏度和峰度數據可初步判斷出三類合約日漲跌幅數據均不服從正態分布假設，除K-S檢驗取得的P值略大外，J-B檢驗與Lillie檢驗均證明變量不服從正態分布，而服從尖峰厚尾分布，這種分布類型適合采用Copula函數進行描述。通過調整三類Copula函數所占權重可以進一步增強模型刻畫總體數據的能力。

表1 TF00、TF01、TF02合約日漲跌幅數據描述性統計

對尾部相關性的簡單分析可通過設置漲跌幅閾值的方式完成，由于國債期貨合約的日漲跌幅限制為1.5%，故根據經驗將測度間隔設置為0.15%，測試了結算價漲跌幅絕對值變動0.3%、0.45%、0.6%、0.75%和0.9%五種情況下的三類合約相互間影響的條件概率。逐組測算后，0.3%至0.45%水平的合約結算價變動對其他合約產生明確且穩定的影響。

2.3 M-Copula參數估計及檢驗

對M-Copula中三類Archimedean族函數的權重進行優化，初始值中的微粒數取40，將學習因子設定為2，權重值得區間選取為0.4～0.9，迭代次數設定為20次，三類合約兩兩配對檢驗。三組國債期貨合約在第10次迭代后參數均已趨于收斂，故該方法是合理且適用的。

表2 Copula參數估計結果

表2中顯示了三組國債期貨合約結算價日漲跌幅分別使用 Gumbel-Copula函數、Clayton-Copula函數、Frank-Copula函數和M-Copula函數后得到的測算結果，可以看出TF00合約與TF01合約結算價日漲跌幅之間的尾部相關關系最強，而TF00合約與TF02合約結算價日漲跌幅之間的尾部相關關系最弱。參考M-Copula函數中各組成部分的權重值，可認為在表示各組合約的關聯性信息時，上尾部及下尾部相關性在整體相關關系中占比較大，且Gumbel-Copula函數所占比重始終最大。以TF01合約與TF02合約結算價日漲跌幅構成的M-Copula函數為例，Gumbel-Copula函數的權重為0.97，遠高于另外兩類Copula函數，故可判定跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅間的上尾部相關關系最為明顯。

通過表3中對平方歐氏距離的對比，可明顯揭示出采用M-Copula函數擬合產生的模型與實際數據間的偏差小于采用 Gumbel-Copula函數、Clayton-Copula函數與Frank-Copula函數擬合產生的模型與實際數據間的偏差，這說明采用M-Copula模型能夠更準確地刻畫跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅之間的尾部相關性。

表3 M-Copula函數與三類傳統Copula函數擬合模型的擬合能力對比

為使上述結果更具說服力，選擇各組合約中相關性相對最高的TF00—TF01合約組合分階段進行實證檢驗，各時間段以合約交割時點劃分，將2013年9月6日至2015年6月12日中的合約結算價變動情況劃分為七個時間段，分階段進行對比，所得結果如表4所示，可以看出在任何一段時間內，采用M-Copula函數均能取得優于另外三種Archimedean族Copula函數的擬合結果，充分證明該優化方式在傳統測度方法上有較大提高。

表4 分時間段的M-Copula函數與三類傳統Copula函數擬合情況對比

檢驗值在2013年9月至2015年6月期間的變動可能受各種外部宏觀經濟和政策因素影響，如自2014年1月2日起中金所對國債期貨合約交易保證金進行調整，隨著交割月份的臨近，保證金比例逐漸由占合約價值比重的2%升至5%。調高保證金比例意味著大量投機交易會影響市場的穩定性，需要進行適度的限制，但自2014年6月份開始，檢驗值出現明顯上升，中金所分別于2014年11月3日及2015年3月16日下調保證金比例，最終將保證金標準定為合約價值的1.2%至2.0%。上述一系列做法逐步增加了國債期貨合約的流動性，提升了市場的健康度。

2.4 尾部超額收益的測算

在超額收益估算過程中，需要設定模型的尾部指數α值，根據Hill估計法，可以通過式（5）進行估計：

其中X1，N≥X2，N≥…≥XN，N，表示的是變量X的N個獨立樣本的順序統計量（這些樣本具有相同的分布情況），在一定的正則條件下，Hill估計的表現完全依賴于u的選擇，應通過對偏差與方差的權衡決定u值的選取。根據中外學者的相關研究經驗可以發現，在股票市場中，用來估計價格變動的α的數據大致落在樣本的上下1%～5%的分位點區間內，參考股票市場與國債期貨市場之間的價格波動特征，可將國債期貨合約結算價日漲跌幅的α值限制在0.15%～0.75%之間，據此，分別在0.15%、0.30%、0.45%、0.60%、0.75%這五個分位點上計算利用尾部相關性產生的獲利能力。由于按照該規則所選取的數據量較小，可以認為這些樣本點的剔除對跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅的尾部相關系數估計影響極小，檢驗可以看作是樣本外的。

后續檢驗以TF00合約與TF01合約為例，測算TF00合約出現極端值條件下，對TF01合約進行交易的獲利情況，信息傳遞時間窗口取1天，假設持有1天后平倉交割。國債期貨合約交易手續費為5元/手，手續費雙邊收取，這一段時期若單純持有TF01合約作為標的資產，所得到的收益率為1.85%，以此為基準并扣除交易手續費可以得到如下收益情況（見表5）。

表5 模型收益情況分析

由表5中的數據可以看出，采取的交易策略為根據TF00合約結算價變動幅度對TF01合約進行買入賣出交易，隨著交易條件趨于嚴格，雖然單次交易所獲收益呈現波動上升趨勢，但由于可進行交易的次數大幅度下降，策略所取得年化的收益率呈波動下降趨勢。已通過M-Copula函數檢測到TF00合約與TF01合約間的上尾部相關性更為明顯，故TF01合約隨TF00合約的調整更為準確和高效，在一定滯后期后進行交易并產生超額收益的機會較少，表5中呈現出的收益情況也顯示根據國債期貨合約上尾部相關關系進行交易得到的收益率較根據下尾部相關關系進行交易低。總體而言，我國跨期國債期貨合約間存在較為明顯的尾部相關關系，可據此建立交易策略獲取超額收益。

3 結論

我國跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅之間存在較明顯的尾部相關關系，使用M-Copula函數能夠量化國債期貨合約的上、下尾部相關性，利用結合了慣性權重優化方式的粒子群算法提升了M-Copula函數權重值的測度方法，在采用TF00、TF01、TF02合約2013年9月6日至2015年6月12日結算價日漲跌幅數據進行了實證檢驗后，得出各組跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅之間均存在明顯的尾部相關性，且上尾部相關性更為明顯的結論。無論是在不同組合約間，還是在同一組合約的不同取值區間內，采用慣性粒子群算法對權重值進行優化后的M-Copula函數都能夠與觀測值產生優于傳統Copula函數的擬合效果，從而更為準確地描述跨期國債期貨合約結算價漲跌幅間的尾部相關性特征，基于該研究方法能夠更加高效的跟蹤國債期貨合約結算價變動的相互影響關系并有助于建立適當的交易策略以獲取超額收益，通過進一步分析可以得出我國國債期貨市場目前存在的漏洞并完善國債期貨市場規則。

雖然改進粒子群算法能夠提高利用M-Copula函數估計跨期國債期貨合約結算價日漲跌幅尾部相關性的擬合度，但計算過程較為復雜且耗時，無法為程序化交易提供足夠參考，且對不同組國債期貨合約估計產生的權重參數值相差較大，說明該測度方法及交易策略仍存在一定缺陷，需通過后續的研究進一步完善。

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[2]韋艷華,張世英.金融市場的相關性分析——Copula-GARCH模型及其應用[J].系統工程,2004,(4).

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（責任編輯/劉柳青）

F832.5；O211.3

A

1002-6487（2016）23-0141-03

國家自然科學基金資助項目（71471129；71171144）

楊寶臣（1966—），男，河北唐山人，博士，教授，研究方向：金融工程、技術經濟理論與方法。

張德鴻（1990—），男，天津人，碩士研究生，研究方向：金融工程、技術經濟理論與方法。